Massimo e minimo di una funzione
Buongiorno,
vorrei sapere come risolvere questa tipologia di esercizi (conosco già la definizione di massimo, minimo e di funzione limitata):
So che dovrei proporre almeno un tentativo di svolgimento, però non saprei neanche da dove cominciare.
Grazie.
vorrei sapere come risolvere questa tipologia di esercizi (conosco già la definizione di massimo, minimo e di funzione limitata):
So che dovrei proporre almeno un tentativo di svolgimento, però non saprei neanche da dove cominciare.
Grazie.
Risposte
Intanto calcola l'insieme di definizione. Hai una condizione sulla radice e una sul logaritmo
Ciao Matteo3213d,
Benvenuto sul forum!
Cerca di non usare immagini che poi vanno perdute, specie se il testo è così semplice...
In buona sostanza devi determinare il dominio $D $ della funzione $f(x) = \sqrt{8 - e^x}log|x - 1| $
Per farlo ti basta vedere dove il radicando è positivo o nullo e tener presente che il logaritmo della funzione proposta ha problemi solo in $x = 1$, tutti gli altri valori di $x $ vanno bene grazie alla presenza del valore assoluto. Prova...
Benvenuto sul forum!
Cerca di non usare immagini che poi vanno perdute, specie se il testo è così semplice...
In buona sostanza devi determinare il dominio $D $ della funzione $f(x) = \sqrt{8 - e^x}log|x - 1| $
Per farlo ti basta vedere dove il radicando è positivo o nullo e tener presente che il logaritmo della funzione proposta ha problemi solo in $x = 1$, tutti gli altri valori di $x $ vanno bene grazie alla presenza del valore assoluto. Prova...
L'insieme di definizione è:
$ { ( x != 1 ),( x <= 3ln(2) ):} $
Per vedere dove il radicando è positivo ho fatto i seguenti calcoli:
$ 8 - e^x >= 0 $
$ e^x <= 8 $
$ 8 = e^3ln2 $
$ e^x <= e^3ln2 $
$ x <= 3ln2 $
$ { ( x != 1 ),( x <= 3ln(2) ):} $
Per vedere dove il radicando è positivo ho fatto i seguenti calcoli:
$ 8 - e^x >= 0 $
$ e^x <= 8 $
$ 8 = e^3ln2 $
$ e^x <= e^3ln2 $
$ x <= 3ln2 $
Ci sono errori nei passaggi e direi che ti sei complicato un bel po' la vita...
Il logaritmo esiste per $x > 1 $ oppure per $x < 1 $, mentre da $ 8 - e^x >= 0 \implies e^{ln8} >= e^x \implies x <= ln8 $ e pertanto il dominio della funzione $f(x) $ proposta è il seguente:
$D = (-\infty, 1) \cup (1, ln8] $
Il logaritmo esiste per $x > 1 $ oppure per $x < 1 $, mentre da $ 8 - e^x >= 0 \implies e^{ln8} >= e^x \implies x <= ln8 $ e pertanto il dominio della funzione $f(x) $ proposta è il seguente:
$D = (-\infty, 1) \cup (1, ln8] $
Mi potrebbe indicare dove sono gli errori ? e dopo aver determinato l'insieme di definizione cosa devo fare per risolvere l'esercizio ?
Devi guardare in faccia il risultato e fissarlo minacciosamente finché non ti rivela la risposta corretta.
Scusate, pensavo di aver scritto il logaritmo all'esponente.
La versione corretta è: $ e^(3ln2) $
La versione corretta è: $ e^(3ln2) $
"Matteo3213d":
Scusate, pensavo di aver scritto il logaritmo all'esponente.
La versione corretta è: $e^{3ln2}$
Bene, ora che hai trovato l'errore nei passaggi, "fissando minacciosamente" (cit. gugo82) l'insieme $D = (-\infty, 1) \cup (1, ln8] $ quale fra le 4 risposte A), B), C) e D) è quella corretta?
La A: ha massimo ma non ha minimo.
Esatto, perchè ha come massimo ln8.
Prova a fare la domanda 3) che è più difficile
Prova a fare la domanda 3) che è più difficile
Scusami, ma non ho capito a quale domanda ti riferisci.
Comunque, grazie a tutti per l'aiuto
.
Comunque, grazie a tutti per l'aiuto
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Scusate se vi disturbo ancora, ma ora ho difficoltà con questo esercizio:
La funzione $ f:(0, +oo )rarr R $ definita da $ f(x) = (log(x+1))/root(4)((x)) $
A) ha massimo
B) è limitata ma non ha massimo
C) è limitata inferiormente ma non superiormente
D) è limitata superiormente ma non inferiormente
Ho pensato di trovare la funzione inversa per poi calcolarne il dominio, ma non so, nella pratica, come fare.
La funzione $ f:(0, +oo )rarr R $ definita da $ f(x) = (log(x+1))/root(4)((x)) $
A) ha massimo
B) è limitata ma non ha massimo
C) è limitata inferiormente ma non superiormente
D) è limitata superiormente ma non inferiormente
Ho pensato di trovare la funzione inversa per poi calcolarne il dominio, ma non so, nella pratica, come fare.
Perchè non inizi facendo $lim_(x->0^+) f(x)$ e $lim_(x->oo) f(x)$?
Poi magari chiediti se $f(x)$ possa assumere:
a) valori positivi e negativi?
b) valori solo positivi?
c) valori solo negativi?
Poi magari chiediti se $f(x)$ possa assumere:
a) valori positivi e negativi?
b) valori solo positivi?
c) valori solo negativi?
I due limiti sono entrambi uguali a 0; mentre la funzione assume valori sempre positivi nel nostro dominio, poiché il logaritmo è negativo solamente per valori minori di 1, e la radice è sempre positivo.
Quindi possiamo assumere con certezza che la funzione è limitata inferiormente, giusto ?
Quindi possiamo assumere con certezza che la funzione è limitata inferiormente, giusto ?
Esatto. L'immagine varierà fra $(0, max]$
Però andrebbe dimostrato che esiste un solo massimo assoluto (e in effetti è anche il solo massimo).
Intuitivamente, puoi immaginare che la funzione salga poi scenda e poi salga e scenda millanta volte e infine scenda a zero. Se ci sono $n$ minimi relativi (perchè non può esistere un minimo assoluto?), allora ci saranno $n$ massimi relativi + un massimo assoluto. Oppure più massimi assoluti identici. Riflettici
Però andrebbe dimostrato che esiste un solo massimo assoluto (e in effetti è anche il solo massimo).
Intuitivamente, puoi immaginare che la funzione salga poi scenda e poi salga e scenda millanta volte e infine scenda a zero. Se ci sono $n$ minimi relativi (perchè non può esistere un minimo assoluto?), allora ci saranno $n$ massimi relativi + un massimo assoluto. Oppure più massimi assoluti identici. Riflettici
Quindi la funzione:
-ha massimo,
-non ha minimo,
-è limitata,
-non è suriettiva né iniettiva.
-ha massimo,
-non ha minimo,
-è limitata,
-non è suriettiva né iniettiva.
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