Massimo e minimo di f(x,y): parametrizzare il vincolo

[Denny8x]

Salve a tutti, negli esercizi che sto affrontando rigurdanti la ricerca dei punti di max e min vincolati mi capita molto spesso di avere dei vincoli nella forma

$S = { (x,y) in R : ax^2 + by^2 <= c}$

nel caso banale in cui $a=b=c=1$ ho provato a porre $x= cos(t)$ e $y= sen(t)$ e devo dire che il calcolo è stato molto più agevole che usando i moltiplicatori di Lagrange, esistono parametrizzazioni efficaci anche negli altri casi?
grazie

[Denny8x]

Ho trovato una parametrizzazione efficace per il caso $a=b=1$ $c>0$ e sarebbe $x= sqrt(c)cos(t)$ e $y= sqrt(c)sen(t)$

ora verrebbe da pensare che nel caso più generale potrebbe essere $x= sqrt(c/a)cos(t)$ e $y= sqrt(c/b)sen(t)$

naturalmente considerando sempre tutti i coefficienti positivi, ma non ne sono certo...

[Lord K]

La cosa funziona anche perchè il vincolo è un ellisse da cui la parametrizzazione del tipo da te specificato. Per il caso generico bisognerebbe vedere caso per caso. In ogni caso le tipologie più comuni e utili possono essere (con $c>=0$):

$\{(x=sqrt(a)*cos(t)),(y=sqrt(b)*sint(t)):}$ con $t in [0, 2*pi[ $

se $a>=0$ e $b>=0$

$\{(x=sqrt(|a|)*cos(t)),(y=sqrt(|b|)*sint(t)):}$ con $t in [0, 2*pi[ $

altrimenti.

Inoltre c'è anche alle volte utile la sostituzione con la $theta = tg(phi/2)$ nelle soprastanti rispettivamente:

$\{(x=sqrt(a)*((1-theta^2)/(1+theta^2))),(y=sqrt(b)*((2*theta)/(1+theta^2))):}$ con $theta in [0, pi[ $

se $a>=0$ e $b>=0$

$\{(x=sqrt(|a|)*((1-theta^2)/(1+theta^2))),(y=sqrt(|b|)*((2*theta)/(1+theta^2))):}$ con $theta in [0, pi[ $

altrimenti.

[Lord K]

Da dirsi che tutto dipende da che conica è

$a*x^2+b*y^2=c$