Massimo e minimo con hessiano nullo

[pasquale_piccolo]

Salve a tutti.
Volevo chiedere un piccolo aiuto sulla ricerca di massimo e minimo di una funzione di due variabili con hessiano nullo,la funzione è la seguente : $ f(x,y) = y^(2)(x^(2)+5)+y^(4)-2xy^(3) $
ora trovo un solo punto singolare in (0,0) per la funzione dove l'hessiano risulta nullo,allora ho provato con il fascio di rette ed ottengo : $ f(x,mx)=m^(2)x^(2)(x^(2)+5)+m^(4)x^(4)-2x^(4)m^(3) $
la derivata prima vale : $ f'(x,mx)= x^(3)(2m^(2)+m^(2)+4m^(4)-8m^(3))+10m^(2)x $
che risulta nulla solo per x=0.
Ho poi trovato la derivata seconda : $ f''(x,mx)= 3x^(2)(3m^(2)+4m^(4)-8m^(3))+ 10m^(2) $
anche qui si annulla solo per x=0 e risulta $ f''(x,mx)>=0 AAm $
posso dedurre che si tratta di un minimo? ho magari sbagliato calcolo o ragionamento?
Grazie in anticipo!!!

[walter891]

Io ho fatto un ragionamento diverso ma anche a me viene un minimo: con qualche manipolazione la funzione si può scrivere $y^2((x-y)^2+5)$ che non è mai negativa

[pasquale_piccolo]

Capito in effetti anche come dici tu sembra funzionare,solo che il mio dubbio era solo se avevo ragionato bene sul fascio di rette ovvero se la derivata seconda mai negativa mi comportava un minimo visto che sembra non ci siano più direzioni.

Comunque grazie della risposta.