Massimo e minimo assoluto funzioni a due variabili
Ciao a tutti... avrei un problemino...
nell'esercizio dovrei calcolare derivate parziali, direzionale piani etc... fino a trovare infine il massimo, minimi relativo della funzione, e verificare quindi se sia anche assoluto.
la funzione in questione è:
$ x^2 - 6xy + 10y^2 + 2y $
ho trovato quindi il minimo relativo $(-3, -1) $
A questo punto dovrei verificare se esso sia anche assoluto o meno.
Sostituisco il punto di minimo nell'equazione e trovo come risultato $-1$
Che io sappia dovrei a questo punto far quadrare i termini... ed ottengo
$x^2 - 6xy + 10y^2 + 2y $
quindi
$(x - 3y)^2 + y^2 + 2y $
ultimo passaggio
$ (x-3y)^2 + (1+y)^2 -1 $
Il problema è che non riesco a capire una volta giunto a questa situazione come stabilisco se sia punto di minimo assoluto...
Potreste darmi una mano???
nell'esercizio dovrei calcolare derivate parziali, direzionale piani etc... fino a trovare infine il massimo, minimi relativo della funzione, e verificare quindi se sia anche assoluto.
la funzione in questione è:
$ x^2 - 6xy + 10y^2 + 2y $
ho trovato quindi il minimo relativo $(-3, -1) $
A questo punto dovrei verificare se esso sia anche assoluto o meno.
Sostituisco il punto di minimo nell'equazione e trovo come risultato $-1$
Che io sappia dovrei a questo punto far quadrare i termini... ed ottengo
$x^2 - 6xy + 10y^2 + 2y $
quindi
$(x - 3y)^2 + y^2 + 2y $
ultimo passaggio
$ (x-3y)^2 + (1+y)^2 -1 $
Il problema è che non riesco a capire una volta giunto a questa situazione come stabilisco se sia punto di minimo assoluto...
Potreste darmi una mano???
Risposte
Puoi far vedere che per ogni $(x,y)\in RR$ si ha $f(x,y)\geq -1$ e cioè $f(x,y)+1\geq 0$. Se riscrivi per bene questa condizione hai
$x^2-6xy+10y^2+2y+1=x^2-6xy+9y^2+y^2+2y+1=(x-3y)^2+(y-1)^2\geq 0$
per ché somma di quadrati e si annulla solo in $y=-1,\ x=-3$ (cioè il punto che hai trovato).
$x^2-6xy+10y^2+2y+1=x^2-6xy+9y^2+y^2+2y+1=(x-3y)^2+(y-1)^2\geq 0$
per ché somma di quadrati e si annulla solo in $y=-1,\ x=-3$ (cioè il punto che hai trovato).
Il fatto che si annulli quindi... significa che è un minimo assoluto?
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No, è un minimo assoluto perché la funzione vale sempre più di $-1$ in qualsiasi punto di $RR^2$...........
No, è un minimo assoluto perché la funzione vale sempre più di $-1$ in qualsiasi punto di $RR^2$...........
Una domanda semplice.
Hai due variabili $X,Y >=0$ e la funzione $f(X,Y)=X+Y+alpha$ dove $alpha in RR$.
Sapresti dimostrare che il minimo assoluto di $f$ nel dominio definito dalle limitazioni $X>=0,Y>=0$ è uguale ad $alpha$?
Hai due variabili $X,Y >=0$ e la funzione $f(X,Y)=X+Y+alpha$ dove $alpha in RR$.
Sapresti dimostrare che il minimo assoluto di $f$ nel dominio definito dalle limitazioni $X>=0,Y>=0$ è uguale ad $alpha$?
Beh... spero non sia rivolto a me 
Comunque ho capito il tuo ragionamento ciampax... grazie 1000!!
E speriamo bene... che sono incasinato perso...
Comunque ho capito il tuo ragionamento ciampax... grazie 1000!!
E speriamo bene... che sono incasinato perso...
Certo che era rivolto a te... 
A chi altrimenti? A ciampax?
A chi altrimenti? A ciampax?
Si scherzavo... l'ho detto perchè non lo sapevo...
Grazie comunque della disponibilità... siete troppo gentili..
Grazie comunque della disponibilità... siete troppo gentili..
Mmmmmmm vediamo..... Allora, visto che $X\geq 0$ e $Y\geq 0$ si dovrebbe avere (guarda non sono proprio sicuro) $X+Y+\alpha\geq \alpha$ per ogni $X,\ Y$ nel dominio. Questo dovrebbe dimostrare (dico dovrebbe perché magari succede qualcosa di strano) che la funzione $f(X,Y)\geq\alpha$ e qindi $\alpha$ è un minimo assoluto.
Ho dimostrato correttamente, Gugo?
Ho dimostrato correttamente, Gugo?
"ciampax":
Ho dimostrato correttamente, Gugo?
Ovvio.
"homer.simpson":
Si scherzavo... l'ho detto perchè non lo sapevo...
Ma porca paletta... Quando arrivano sti post in cui non si ragiona per nulla mi girano proprio le bolas.
Possibile che se non vi si imbocchino coi cucchiaini le soluzioni, voi non siete in grado di trovare una strada?
Peggio dei bambini delle elementari...
Ciè si trattava di applicare una banalissima proprietà della relazione d'ordine:
$\quad alpha<=alpha+X<=alpha+X+Y \quad$ (per $X,Y>=0$)
mica dovevi dimostrare il teorema di Banach-Tarski!?!
Invece di perdere tempo a fare esercizi meccanicamente, comincia a riflettere seriamente su quello che fai.
"Gugo82":
[quote="ciampax"]Ho dimostrato correttamente, Gugo?
Ovvio.
"homer.simpson":
Si scherzavo... l'ho detto perchè non lo sapevo...
Ma porca paletta... Quando arrivano sti post in cui non si ragiona per nulla mi girano proprio le bolas.
Possibile che se non vi si imbocchino coi cucchiaini le soluzioni, voi non siete in grado di trovare una strada?
Peggio dei bambini delle elementari...
Ciè si trattava di applicare una banalissima proprietà della relazione d'ordine:
$\quad alpha<=alpha+X<=alpha+X+Y \quad$ (per $X,Y>=0$)
mica dovevi dimostrare il teorema di Banach-Tarski!?!
Invece di perdere tempo a fare esercizi meccanicamente, comincia a riflettere seriamente su quello che fai.
[/quote]Ma chi te la fa fare ad incavolarti? Vuoi venire con me al prossimo appello di analisi, così hai una ragione seria per incavolarti?
No, grazie... Mi tocca Metodi Matematici (per gli ingegneri informatici) al prossimo semestre, con esami a febbraio. -.-
Si lo sò che c'è tutta una teoria (per le mie basi e propensioni abbastanza complessa) dietro... però... perdere troppo tempo sopra, quando non è necessario sapere in toto tutta la dimostrazione... preferisco fare un esercizio in più, una volta capito il ragionamento... o sbaglio???
Per risolvere un problema come quello che ti ho posto, non serve essere geni o consocere "tutta la teoria che c'è dietro"; basta un po' di buona volontà per ragionare, carta e penna per scrivere ed una certa conoscenza delle proprietà di base della relazione d'ordine.
Se non sai dimostrare cose elementari, mi fai capire a cosa ti sta servendo l'insegnamento dell'Analisi?
Cosa hai imparato finora? A ragionare un po' o a fare due calcoletti scemi?
La Matematica, checché insegnino a voi ingegneri*, non è calcolo.
Voglio dire, la Matematica offre una grande opportunità: imparare a ragionare con la testa (e non con lo stomaco, come gli animali).
Il problema è che sempre meno studenti colgono questa oppotunità, per pigrizia soprattutto, ma anche perchè ormai per passare un esame di Matematica non c'è più bisogno nemmeno di provare a ragionare.
Se posso darti un consiglio, cerca di capire quello che fai in Matematica, perchè se riesci a risolvere problemi "astratti" saprai approcciare meglio dei tuoi colleghi anche i problemi "concreti".
__________
* Qui ho fatto un ipotesi, visto che non ci hai nemmeno detto un po' chi sei, che studi, o altre gentilezze del genere (ci sarebbe la sezione Presentazioni per questo). Se poi non sei ingegnere, le cose cambiano...
Se non sai dimostrare cose elementari, mi fai capire a cosa ti sta servendo l'insegnamento dell'Analisi?
Cosa hai imparato finora? A ragionare un po' o a fare due calcoletti scemi?
La Matematica, checché insegnino a voi ingegneri*, non è calcolo.
Voglio dire, la Matematica offre una grande opportunità: imparare a ragionare con la testa (e non con lo stomaco, come gli animali).
Il problema è che sempre meno studenti colgono questa oppotunità, per pigrizia soprattutto, ma anche perchè ormai per passare un esame di Matematica non c'è più bisogno nemmeno di provare a ragionare.
Se posso darti un consiglio, cerca di capire quello che fai in Matematica, perchè se riesci a risolvere problemi "astratti" saprai approcciare meglio dei tuoi colleghi anche i problemi "concreti".
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* Qui ho fatto un ipotesi, visto che non ci hai nemmeno detto un po' chi sei, che studi, o altre gentilezze del genere (ci sarebbe la sezione Presentazioni per questo). Se poi non sei ingegnere, le cose cambiano...
Si si... condivido il tuo ragionamento... ma io sono un programmatore informatico, e mi mancano un paio di esami al termine, il mio dire, era sul fatto che ho tempi strettissimi purtroppo e perciò non posso soffermarmi troppo su certe questioni... sopratutto se queste non sono necessarie per quello che sarà in futuro il mio lavoro... ma il semplice desiderio di eliminare una "seccatura" di esame.
Spero di non essere stato frainteso... e mi scuso se ho fatto o detto qualcosa di sbagliato...
Spero di non essere stato frainteso... e mi scuso se ho fatto o detto qualcosa di sbagliato...
No, figurati, non devi scusarti di nulla... Solo mi lascia perplesso questo modo di affrontare lo studio di una materia che può insegnarti tanto per il tuo futuro lavoro.
"gugo82":
Una domanda semplice.
Hai due variabili $X,Y >=0$ e la funzione $f(X,Y)=X+Y+alpha$ dove $alpha in RR$.
Sapresti dimostrare che il minimo assoluto di $f$ nel dominio definito dalle limitazioni $X>=0,Y>=0$ è uguale ad $alpha$?
riesumo questo vecchio topic, davvero interessante.
è un teorema? generalizzazione a mò di trucco? lo chiedo perchè mi piacerebbe applicarlo, se mai mi dovesse capitare in qualche esercizio (mirato e non!)
tipo se avessi:
$f(x,y)= 3 x^2 + 10 y^2 - 5 y + 25$
dal momento che
$X = 3 x^2$ (positivo)
$Y = 10 y^2 - 5 y$ (positivo, al massimo può essere nullo in $y=0$)
$25$ sarebbe di minimo assoluto per la $f$?
se sono fuori strada ditemelo
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