Massimo e minimo assoluto di una funzione
Salve... Ho un problema con un problema... Ho una funzione definita in un compatto
\( \Gamma = \left \{ x\in R^3: x_1^2+x_2^2+x_3^2=17, x_1+2x_2+2x_3=0 \right \} \) ;
La funzione è \( f(x)=x_1^2+x_2^2+x_3^2 \) ; per trovare max e min assoluti di \( f(x) \) ho pensato di mettere a sistema le equazioni di \( \Gamma \) e di considerarla come funzione di condizionamento per \( f(x) \); praticamente ho considerato
\( g(x)=5x_2^2+5x_3^2+8x_2x_3-17 \) come funzione di condizionamento...
Il problema è che svolgendo tutti i calcoli mi esce un solo vettore \( (0,0,0)^T \) che è il minimo, che mi aspettavo avendo notato che lo Jacobiano di \( f(x) \) si annulla in zero e che la matrice Hessiana e definita positiva. Ma il massimo? Ho fatto qualche errore nel ragionamento?
\( \Gamma = \left \{ x\in R^3: x_1^2+x_2^2+x_3^2=17, x_1+2x_2+2x_3=0 \right \} \) ;
La funzione è \( f(x)=x_1^2+x_2^2+x_3^2 \) ; per trovare max e min assoluti di \( f(x) \) ho pensato di mettere a sistema le equazioni di \( \Gamma \) e di considerarla come funzione di condizionamento per \( f(x) \); praticamente ho considerato
\( g(x)=5x_2^2+5x_3^2+8x_2x_3-17 \) come funzione di condizionamento...
Il problema è che svolgendo tutti i calcoli mi esce un solo vettore \( (0,0,0)^T \) che è il minimo, che mi aspettavo avendo notato che lo Jacobiano di \( f(x) \) si annulla in zero e che la matrice Hessiana e definita positiva. Ma il massimo? Ho fatto qualche errore nel ragionamento?
Risposte
Io direi che il minimo è $17$ e il massimo è $17$.
Qual è stato il tuo ragionamento?
Niente di complicato: c'è un vincolo che dice che $x_1^2 +x_2^2+x_3^2= 17$.
Siccome la funzione è proprio $f(x)= x_1^2 +x_2^2+x_3^2$, la funzione assume solo il valore $17$.
Siccome la funzione è proprio $f(x)= x_1^2 +x_2^2+x_3^2$, la funzione assume solo il valore $17$.
Ma il compatto non contiene solo \( x_1^2+x_2^2+x_3^2=17 \) , ma anche quest'altra \( x_1+2x_2++2x_3=0 \) . Non c'è solo la sfera, ma è intersecata in qualche modo con la superficie data da questa seconda equazione... O no...?
Vabbè, allora diciamo che devi verificare che $Gamma !=emptyset$.
Poi, siccome c'è un vincolo che dice che $f(x)$ deve necessariamente essere uguale a $17$, indipendentemente dagli altri vincoli sai che $f(x)=17$ su tutti i punti di $Gamma$.
Poi, siccome c'è un vincolo che dice che $f(x)$ deve necessariamente essere uguale a $17$, indipendentemente dagli altri vincoli sai che $f(x)=17$ su tutti i punti di $Gamma$.
Ah ho capito....
A questo punto sorge un'altra domanda... Quali sono le coordinate del max e del min? Sono tutta la sfera di raggio 17?
A questo punto sorge un'altra domanda... Quali sono le coordinate del max e del min? Sono tutta la sfera di raggio 17?
La sfera ha raggio $sqrt17$, non $17$.
Non su tutta la sfera, ma sulla sfera inferecata con l'altro vincolo, cioè $x_1+2x_2+2x_3=0$
Non su tutta la sfera, ma sulla sfera inferecata con l'altro vincolo, cioè $x_1+2x_2+2x_3=0$
Cioè tutti i punti che risolvono l'equazione \( 5x_2^2+5x_3^2+8x_2x_3-17=0 \)?
No, tutti i punti che risolvono il sistema ${(x_1^2+x_2^2+x_3^2=17),(x_1+2x_2+2x_3=0):}$
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