Massimo e minimo assoluti f(x,y) in un sistema di disequazioni

lindavit
Ciao a tutti, vorrei chiedere un chiarimento\spiegazione sul metodo corretto per risolvere l'esercizio che vi riporto, che consiste nel trovare il massimo e minimo assoluti di una funzione di due variabili data, ristretta ad un insieme dato da un sistema di disequazioni.

PROBLEMA:

Sia \(\displaystyle Q= {(x,y) \in R^2 : |x| \leq 2; |x|-2 \leq y \leq 1+|x|; x^2 + y^2 \geq 1} \)

Sia \(\displaystyle f(x,y)=9x + 1 - 9y, \forall (x,y) \in R^2. \)

Sia M il valore massimo assoluto assunto dalla restrizione della funzione f a Q; sia m il valore minimo assoluto assunto dalla restrizione della funzione f a Q.

Calcolare quanto vale M - m.

SOLUZIONE:

La soluzione di M - m so che è 63.


MIO PROCEDIMENTO:

Prima di tutto provo a vedere dove si annulla il gradiente quindi pongo le derivate parziali uguali a 0 e risolvo il sistema: Il sistema è irrisolvibile perchè mi vengono 9= 0 e -9 = 0. Pertanto non trovo punti critici e quindi non verifico se siano all'interno del sistema.

A questo punto devo verificare i punti sulla frontiera: pongo tutti i vincoli = 0 e ne considero uno ad uno.
Li scindo prima nei seguenti vincoli e ottengo questo:

\(\displaystyle x \leq 2 \)
\(\displaystyle x \geq -2 \)
\(\displaystyle x-2 \leq y \)
\(\displaystyle -x-2 \leq y \)
\(\displaystyle y \leq 1 + x \)
\(\displaystyle y \leq 1 - x \)
\(\displaystyle x^2 + y^2 \geq 1 \)

che diventano:

\(\displaystyle x = 2 \)
\(\displaystyle x = -2 \)
\(\displaystyle x-2 = y \)
\(\displaystyle -x-2 = y \)
\(\displaystyle y = 1 + x \)
\(\displaystyle y = 1 - x \)
\(\displaystyle x^2 + y^2 = 1 \)

Nelle prime due sostituiso x con 2 e -2 e faccio la derivata prima della f(y) che trovo, mi viene sempre diversa da 0.
Nelle quattro seguenti invece sostituisco y con i valori corrispondenti e ottengo 4 diverse f(x) e faccio la derivata prima di ognuna, e mi viene per una sempre = 0 e per le altre tre sempre diversa da 0.

A questo punto non ho trovato nessun punto critico... Mi resta l'ultimo vincolo il quale non essendo lineare mi obbliga a usare il lagrangiano (i moltiplicatori di lagrange). Allora costruisco la mia \(\displaystyle g(x,y) = x^2 + y^2 - 1 \) e la funzione
\(\displaystyle L(x,y,\lambda ) = 9x + 1 - 9y +\lambda (x^2+y^2-1) \)
Per questa funzione cerco il massimo e minimo liberi facendo le derivate pariali prime rispetto x y e lambda e risolvo il sistema ponendo tutte uguali a 0. Ottengo due punti:

\(\displaystyle
P0=(\frac{-1}{\sqrt{2}}, \frac{+1}{\sqrt{2}}, \frac{9\sqrt{2}}{2})
\)
P1 mi viene come p0 ma coi segni tutti cambiati quindi
\(\displaystyle P1=-P0 \)

A questo punto guardo quando vale \(\displaystyle f(P0) \) e \(\displaystyle f(P1) \)

E trovo che sono rispettivamente
\(\displaystyle
f(P0)=1 - \frac{18}{\sqrt{2}} = m
\)
\(\displaystyle f(P1)=1 + \frac{18}{\sqrt{2}} = M \)


\(\displaystyle M-m=18\sqrt{2} \)

In teoria dovrebbe venire 63...

C'è qualcuno di gentile che mi potrebbe dire:
1- Tutti gli sbagli che faccio di logica o di calcolo
2 - Qual è il vero metodo ideale per rislvere un esercizio di questo genere?

Grazie a tutti

Risposte
lindavit
Grazie mille della risposta,
l'algoritmo l'ho capito, cioè ho capito quali sono gli step (ovvero mi mancava lo step degli spigoli).

Riprovando a fare l'esercizio in modo meno scorretto ho come priam cosa guardato quanto vale z nei segmeti in cui la derivata è costante = 0 e ho ottenuto i valori \(\displaystyle 19 \) e \(\displaystyle -8 \) che mi sono scritto come ipotetici valori possibili di massimo\minimo.

Per l'ultimo pezzo di frontiera (quello che avevo fatto con lagrange) l'ho tenuto uguale e mi sono salvato pure quei due ipotetici valori di massimo\minimo.

A questo punto devo controllare gli spigoli e qua incominciano i problemi: come li trovo?
HO provato a sostituire\(\displaystyle x=2 \) in \(\displaystyle y=1+x \) e \(\displaystyle y=x-2 \) trovando questi punti \(\displaystyle (2,0) \) e \(\displaystyle (2,3) \).
Ho provato a sostituire\(\displaystyle x=-2 \) in \(\displaystyle y=1-x \) e \(\displaystyle Y=-x-2 \) trovando i punti \(\displaystyle (-2,0) e (-2,3) \).

Ok, guardando wolframalpha vedo che i punti trovato dovrebbero essere giusti ma me ne mancano altri due!
Come li posso trovare?
Cosi senza sapere il perchè l'unico modo possibile che mi viene in mente è quello di ipotizzare il caso in cui il valore assoluto di x non sia due ma 0 e sostituire sempre nelle solite equazioni trovando\(\displaystyle (0,-2)(0,1) \).

A questo punto verifico tutti gli z corrispondenti a questi punti trovati:
\(\displaystyle f(2,0)=19 \)
\(\displaystyle f(2,3)=-8 \)
\(\displaystyle f(-2,0)=-17 \)
\(\displaystyle f(-2,3)=10 \)
\(\displaystyle f(0,-2)=19 \)
\(\displaystyle f(0,1)=-8 \)

Ritrovo i 19 e i -8 in quanto dove la derivata era costante 0 anche gli estremi assumono gli stessi valori.
Confronto i valori trovati con quelli che avevo già trovato l'altra volta con i moltiplicatori di Lagrange e ottengo che \(\displaystyle M=19 \) e \(\displaystyle m=-17 \).

\(\displaystyle M-m=36 \) .... ma in teoria deve venire \(\displaystyle 63 \).

Ora dove sbaglio? Come si trovano gli spigoli dato un sistema di disequazioni?

lindavit
Ok grazie mille!!!
Mi torna tutto ed ho capito!
Ho ancora una domanda e poi la smetto du rompere: se l'esercizio anziche darmi tutte le disequazioni mi avesse dato i vertici del poligono in ordine e l'ultima disequazione dicendo che la restrizione Q era l'insieme dei punti interni al poligono ma con \(\displaystyle x^2+y^2\geq 1 \)come avrei ricavato le disequazioni partendo dai vertici?
Perchè io partirei facendo le rette passanti per il primo e il secondo vertice, secondo e terzo, terzo e quarto, e cosi via.. Però troverei delle equazioni senza sapere che simboli mettere al posto dell'uguale per trasformale in disequazioni.
Allora mi è venuto in mente che potrei procedere anche in questo caso partendo dal disegno e quindi capendo quali diventano \(\displaystyle \geq \) e quali \(\displaystyle \leq \).
E' giusto il ragionamento? Ci sono altri metodi?
Grazie infinite di nuovo.

lindavit
Ok ok è quello che intendevo, grazie!

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