Massimo e minimo assoluti con moltiplicatori di Lagrange
Ciao a tutti, ho un problema con l'esercizio seguente:
Determinare massimo e minimo assoluti della funzione
$f(x,y)=x^2+4y^2+6x+8$
nel disco chiuso di centro $(0,0)$ e raggio $2$
facendo l'intersezione delle due derivate prime ottengo $A(-3,0)$, ma è esterno al vincolo (con la matrice hessiana risulta comunque un punto di minimo).
Ho provato allora ad utilizzare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, che non abbiamo fatto a lezione, quindi potrei aver fatto qualche imprecisione:
$L(x,y,lambda)=x^2+4y^2+6x+8-lambda(x^2+y^2-4)$
svolgo quindi le derivate prime rispetto a x,y e lambda, e ottengo
$x=3/(lambda-1) , y=0 , lambda_1=-1/2, lambda_2=5/2$
vado quindi a sostituire i valori trovati di lambda alla x ottenendo i punti $B(-2,0)$ e $C(2,0)$
Utilizzando la matrice hessiana sul punto B ottengo un determinante maggiore di zero con traccia maggiore di zero, quindi è punto di minimo.
Applicando lo stesso procedimento al punto C ottengo un determinante minore di zero, quindi è un punto di sella.
Praticamente a fine esercizio mi esce un solo punto di minimo interno al disco, ovvero il punto $B(-2,0)$, ma inserendo i dati su Wolfram Alpha mi trova, oltre al punto di minimo, altri due punti di massimo in $(1,-sqrt(3))$ e $(1,sqrt(3))$.
Credo quindi di aver dimenticato qualcosa, dove è l'errore?
Determinare massimo e minimo assoluti della funzione
$f(x,y)=x^2+4y^2+6x+8$
nel disco chiuso di centro $(0,0)$ e raggio $2$
facendo l'intersezione delle due derivate prime ottengo $A(-3,0)$, ma è esterno al vincolo (con la matrice hessiana risulta comunque un punto di minimo).
Ho provato allora ad utilizzare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, che non abbiamo fatto a lezione, quindi potrei aver fatto qualche imprecisione:
$L(x,y,lambda)=x^2+4y^2+6x+8-lambda(x^2+y^2-4)$
svolgo quindi le derivate prime rispetto a x,y e lambda, e ottengo
$x=3/(lambda-1) , y=0 , lambda_1=-1/2, lambda_2=5/2$
vado quindi a sostituire i valori trovati di lambda alla x ottenendo i punti $B(-2,0)$ e $C(2,0)$
Utilizzando la matrice hessiana sul punto B ottengo un determinante maggiore di zero con traccia maggiore di zero, quindi è punto di minimo.
Applicando lo stesso procedimento al punto C ottengo un determinante minore di zero, quindi è un punto di sella.
Praticamente a fine esercizio mi esce un solo punto di minimo interno al disco, ovvero il punto $B(-2,0)$, ma inserendo i dati su Wolfram Alpha mi trova, oltre al punto di minimo, altri due punti di massimo in $(1,-sqrt(3))$ e $(1,sqrt(3))$.
Credo quindi di aver dimenticato qualcosa, dove è l'errore?
Risposte
il sistema è
$ { ( x+3+lambdax=0 ),( y(4+lambda)=0 ),( x^2+y^2-4=0 ):} $
per $y=0$ si ha $x=+-2$,per $lambda=-4$ si ha $x=1;y=+-sqrt3$
$ { ( x+3+lambdax=0 ),( y(4+lambda)=0 ),( x^2+y^2-4=0 ):} $
per $y=0$ si ha $x=+-2$,per $lambda=-4$ si ha $x=1;y=+-sqrt3$
grazie mille, guardando su wikipedia ho scoperto che di aver sbagliato il segno su lambda, sul riferimento che avevo era riportato in maniera errata! Ripetendo il procedimento con i segni corretti porta come hai detto, che è il risultato giusto 
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