Massimo e minimo assoluti

[marco.ceccarelli]

Buongiorno. Sto provando a svolgere questo esercizio, ma non sono sicuro che lo stia facendo bene. Ringrazio chiunque mi possa dare una piccola mano. Mi scuso in anticipo se ho sbagliato ad inserire qualche simbolo. Visto che è la 1° volta che scrivo sul Forum, devo ancora prendere dimestichezza con il metodo di scrittura delle formule.

Consegna: "trovare massimo e minimo assoluti, se esistono, della funzione $f=|x*y|*e^(9*x^2+4*y^2)$ sull'insieme $9*x^2+4*x^2<=36$".

Allora innanzitutto ho cercato i punti critici della funzione interni all'insieme, ponendo il gradiente pari a zero, e ho ottenuto l'unico punto $(0,0)$. Senza andare a ragionare con la matrice hessiana, ho notato che il punto $(0,0)$ è un minimo, in quanto sia il modulo, sia l'esponenziale sono sempre positivi; il loro prodotto è nullo solo nel punto $(0,0)$. Poi ho considerato il bordo dell'insieme, che ho parametrizzato così: $(2*cos(t),3*sen(t))$ dove $0<=t<=2Pi$.

$f(t)=|3*sen(2t)|*e^36$

Per cui il minimo valore assunto da questa funzione sarà zero, cioè quando l'argomento del modulo è nullo. Allora $t=k*Pi/2$. I punti di minimo quindi sono i seguenti: $(2,0),(0,3),(-2,0),(0,-3)$. Sono tutti punti di minimo assoluto, come lo è anche l'origine degli assi, che avevo trovato tramite il gradiente. Il massimo valore assunto dalla funzione sarà invece $3*e^36$, cioè quando l'argomento del modulo è tre. Allora $t=Pi/4+k*Pi/2$. I punti di massimo (assoluto) quindi sono i seguenti: $(sqrt(2),3/2*sqrt(2)),(-sqrt(2),3/2*sqrt(2)),(-sqrt(2),-3/2*sqrt(2)),(sqrt(2),-3/2*sqrt(2))$.

Dico bene, o piuttosto ho fatto qualche errore? Vi ringrazio comunque dell'aiuto!

[marco.ceccarelli]

La Prof.ssa ha detto che (0,0) non è un minimo e che anzi non è neanche un punto critico. A me, pare che, se x=0 oppure y=0, allora f=0, mentre in generale f>=0...

[Zero87]

"Bubbino1993":La Prof.ssa ha detto che (0,0) non è un minimo e che anzi non è neanche un punto critico.

Rispondo appellandomi a gio73 per queste cose.

Prendi la tua funzione
$f(x,y)=|xy|e^(...)$
tralasciamo l'argomento della $e$ perché non ci interessa molto per quanto voglio dirti.

Sappiamo che l'esponenziale reale è sempre positivo, qualunque sia l'esponente. Nella nostra funzione esso è a prodotto con una quantità sempre "non negativa": dunque nei punti in cui la funzione si annulla - proprio a causa dei punti di non negatività del termine in modulo - avremo dei minimi.

E' un discorso che mi piace fare spesso: se una funzione non negativa (e non identicamente nulla) assume valore nullo in uno/qualche/infiniti punti essi sono minimi locali. Ma anche globali, direi, perché non assume valori negativi, quindi in generale non scende mai sotto lo zero.

Comunque nel tuo caso, l'asse $x$ e $y$ sono, di per sé, critici e su di essi la funzione assume minimo dal momento che si annulla la quantità in modulo. Quindi $(0,0)$ fa parte di questi minimi e quindi $(0,0)$ è punto di minimo. Tuttavia avrei detto, invece che $(0,0)$ è minimo, che in generale $x=0$ o $y=0$ sono "luoghi" di minimo per $f$.
Poi, ovviamente, $(0,0)$ è uno degli infiniti punti che fa parte di questi "luoghi" (c'è una parola migliore?).

[marco.ceccarelli]

Grazie!