MASSIMO E MINIMO

[marktrix]

Buongiorno qualcuno mi può spiegare come si fa a ricercare il massimo e minimo di una funzione?e soprattutto come si distingue un massimo relativo da uno assoluto?

Io so solo che si deve calcolare la derivata prima e porla > 0 e da li si trovano i punti di massimo e minimo...qualche spiegazione più dettagliata?

[_Tipper]

Data una funzione $f$, si dice che $x_0$ è un punto di minimo assoluto se e solo se $f(x_0) \le f(x)$ $\forall x \in Dom(f)$, dove con $Dom(f)$ indico il dominio della funzione.

Data una funzione $f$, si dice che $x_0$ è un punto di minimo relativo se e solo se esiste un intorno di $x_0$, $I_{x_0}$, tale che $f(x_0) \le f(x)$ $\forall x \in I_{x_0}$.

Detto a parole il minimo assoluto è il minimo valore assunto dalla funzione, il minimo relativo è il più piccolo valore assunto in un certo intorno.

Per il massimo il discorso è analogo.

Quando hai una funzione e devi trovare massimo e minimo, calcoli la derivata, la azzeri, e ne calcoli il segno.
Se in un punto in cui si azzera passi da positività a negatività allora il punto in questione è un massimo, se invece passi da negatività a positività allora il punto in questione è un minimo.

In questo modo puoi trovare solo i massimi e i minimi in cui la funzione è derivabile. Ad esempio la funzione $f(x)=|x|$ ha un minimo (assoluto) in $x=0$, ma con questo metodo non potrebbe essere trovato.

[marktrix]

In termini pratici dato questo esercizio:

$f(x) = x + |x^2 -5x + 4|$ e devo calcolare i massimi e minimi della funzione compresa tra [0,7]

non mi è chiaro perchè il rusultato è:

massimo relativo: x=0,x=3
massimo assoluto: x=7
minimo relativo: x=4
minimo assoluto: x=1

[_Tipper]

Per prima cosa devi spezzare il valore assoluto, ricordando che:

$|g(x)|={(g(x), "se " g(x) \ge 0),(-g(x), "else"):}$

Quindi la tua funzione si spezza così:

$f(x)={(x^2-4x+4, "se "0
Derivando si ottiene:

$f'(x)={(2x-4, "se "0
Si vede che i punti $x=1$ e $x=4$ sono punti di non derivabilità. La derivata si annulla solo in $x=3$.

Studiando il segno si vede che la derivata è positiva in $1 Con un abbozzo di disegno si vede che in $x=1$ e $x=4$ ci sono due minimi; questi due punti non si potevano trovare con questa analisi, perché sono punti di non derivabilità.
Stessa cosa vale per i due punti sul bordo, ovvero $x=0$ e $x=7$.
Data che questa funzione è limitata in un intervallo chiuso e limitata avrà almeno un massimo assoluto e almeno un minimo assoluto.
Andando a calcolare l'immagine di ogni punto considerato, quello che ha immagine più grande sarà il massimo assoluto, quello più piccolo sarà il minimo assoluto, gli altri saranno massimi/minimi relativi.

EDIT: Avevo lasciato un valore assoluto, come mi ha fatto notare Fioravante Patrone.

[laura.todisco]

Per x=1 e x=4 ci sono due punti angolosi, non minimi, dato che ivi la f non è derivabile e le derivate destra e sinistra hanno valori diversi, cioè le tangenti destra e sinistra in tali punti hanno coeff. ang. diversi.
In sintesi si trova solo un max relativo per x=3, un minimo assoluto in x=1 e max assoluto in x=7.

[marktrix]

"Tipper":

Si vede che i punti $x=1$ e $x=4$ sono punti di non derivabilità. La derivata si annulla solo in $x=3$.

Studiando il segno si vede che la derivata è positiva in $1

Non mi è chiaro questo passaggio..sono arrivato fino al calcolo della derivata e poi ho messo $f'(x) >0$ e mi viene $x>2 per 03 per 1

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[_Tipper]

"laura.todisco":Per x=1 e x=4 ci sono due punti angolosi, non minimi, dato che ivi la f non è derivabile e le derivate destra e sinistra hanno valori diversi, cioè le tangenti destra e sinistra in tali punti hanno coeff. ang. diversi.

Non vedo perché in $x=1$ e $x=4$ non ci siano minimi relativi, benché la funzione non sia derivabile. La derivabilità in un punto non è una condizione necessaria affinché in quel punto vi sia un minimo, o massimo, relativo.

"Tipper":
Data una funzione $f$, si dice che $x_0$ è un punto di minimo relativo se e solo se esiste un intorno di $x_0$, $I_{x_0}$, tale che $f(x_0) \le f(x)$ $\forall x \in \I_{x_0}$

Sinceramente non mi pare di aver sbagliato a dare la definizione di minimo, pertanto sono convinto, magari sbagliando, che in $x=1$ e in $x=4$ vi siano minimi relativi.

[_Tipper]

"marktrix":[quote="Tipper"]

Si vede che i punti $x=1$ e $x=4$ sono punti di non derivabilità. La derivata si annulla solo in $x=3$.

Studiando il segno si vede che la derivata è positiva in $1

Non mi è chiaro questo passaggio..sono arrivato fino al calcolo della derivata e poi ho messo $f'(x) >0$ e mi viene $x>2 per 03 per 1 Il fatto è che dire $x>2$ quando si lavora negli intervalli $0

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[laura.todisco]

"Tipper":Non vedo perché in $x=1$ e $x=4$ non ci siano minimi relativi, benché la funzione non sia derivabile. La derivabilità in un punto non è una condizione necessaria affinché in quel punto vi sia un minimo, o massimo, relativo.
[quote="Tipper"]
Data una funzione $f$, si dice che $x_0$ è un punto di minimo relativo se e solo se esiste un intorno di $x_0$, $I_{x_0}$, tale che $f(x_0) \le f(x)$ $\forall x \in \I_{x_0}$

Sinceramente non mi pare di aver sbagliato a dare la definizione di minimo, pertanto sono convinto, magari sbagliando, che in $x=1$ e in $x=4$ vi siano minimi relativi.[/quote]

Hai ragione, in effetti io pensavo ai punti stazionari, cioè a tangente orizzontale.