Massimo e maggiorante di un insieme
Buonasera a tutti! avrei bisogno di alcuni chiarimenti sui massimi e maggioranti:
da alcuni appunti presi in classe dall'insegnante viene definito il maggiorante come il sostituto di massimo per gli insiemi che il massimo non ce l'hanno.
Poi si afferma la seguente cosa: se un insieme ha un massimo tale massimo puo' essere definito come minimo dei maggioranti.
Allora io mi chiedo: ma se il maggiorante e' un sostituto del massimo quando quest'ultimo non ce...come fa il massimo quando invece e' presente a essere definito come il minimo dei maggioranti se i maggioranti non sono altro che sostituti???
Vediamo se riesco a esprimermi meglio: se manca il massimo abbiamo il maggiorante ma se il massimo e' presente il sostituto di massimo come fa a esserci di nuovo? dovrebbe entrare in funzione solo se non ce il massimo....e invece la definizione dice che il massimo se e' presente entra a far parte del sostituto ovvero viene definito come minimo dei maggioranti...
qualcuno mi aiuta a capire bene questo discorso?????
da alcuni appunti presi in classe dall'insegnante viene definito il maggiorante come il sostituto di massimo per gli insiemi che il massimo non ce l'hanno.
Poi si afferma la seguente cosa: se un insieme ha un massimo tale massimo puo' essere definito come minimo dei maggioranti.
Allora io mi chiedo: ma se il maggiorante e' un sostituto del massimo quando quest'ultimo non ce...come fa il massimo quando invece e' presente a essere definito come il minimo dei maggioranti se i maggioranti non sono altro che sostituti???
Vediamo se riesco a esprimermi meglio: se manca il massimo abbiamo il maggiorante ma se il massimo e' presente il sostituto di massimo come fa a esserci di nuovo? dovrebbe entrare in funzione solo se non ce il massimo....e invece la definizione dice che il massimo se e' presente entra a far parte del sostituto ovvero viene definito come minimo dei maggioranti...
qualcuno mi aiuta a capire bene questo discorso?????
Risposte
Immagino che l'argomento sia stato introdotto per l'insieme $R$ dei numeri reali.
Sia $A$ un sottoinsieme superiormente limitato di $R$, allora un numero $m$ si dice maggiorante di A
se $a<=m$, con $a$ elemento qualsiasi di $A$.
Evidentemente se $m$ è maggiorante di $A$, allora ogni numero $l$, tale che $l>=m$, è un maggiorante di $A$.
Questo significa che se un insieme ha un maggiorante allora ne ha infiniti!
Adesso, considera l'insieme $M$ di tutti i maggioranti di $A$: l'elemento più piccolo di $M$ si dice estremo superiore di $A$. Se l'estremo superiore di $A$ appartiene ad $A$ allora si dice massimo.
Ricordati che su $R$ vale la proprietà di Dedekind:
Ogni sottoinsieme superiormente limitato ammette estremo superiore, cioè la sua esistenza è sempre garantita (proprietà non affatto scontata).
Sia $A$ un sottoinsieme superiormente limitato di $R$, allora un numero $m$ si dice maggiorante di A
se $a<=m$, con $a$ elemento qualsiasi di $A$.
Evidentemente se $m$ è maggiorante di $A$, allora ogni numero $l$, tale che $l>=m$, è un maggiorante di $A$.
Questo significa che se un insieme ha un maggiorante allora ne ha infiniti!
Adesso, considera l'insieme $M$ di tutti i maggioranti di $A$: l'elemento più piccolo di $M$ si dice estremo superiore di $A$. Se l'estremo superiore di $A$ appartiene ad $A$ allora si dice massimo.
Ricordati che su $R$ vale la proprietà di Dedekind:
Ogni sottoinsieme superiormente limitato ammette estremo superiore, cioè la sua esistenza è sempre garantita (proprietà non affatto scontata).
le tue definizioni sono esatte ma non hai chiarito il dubbio ....se il maggiorante e' un sostituto del massimo ...come scritto nei miei appunti...come mai quando ho il massimo mi ritrovo di nuovo questo sostituto???se ce il massimo non dovrebbe esserci anche il sostituto..!!!!
qualcuno riesce a chiarire la mia domanda ?????
Ciao Andrew,
numerosi punti esclamativi o interrogativi potrebbero essere interpretati come strilli, ti invito quindi a usarne uno solo per volta. Inoltre ripetere la domanda dopo appena 4 minuti è vietato dal regolamento*: devono passare almeno 24h prima di sollecitare una risposta. In futuro chiuderò i 3d che non rispettano le regole.
*trovi il regolamento da consultare nel box rosa in alto.
Venendo alla tua difficoltà, magari ci si potrebbe chiarire le idee con qualche esempio, che ne dici?
numerosi punti esclamativi o interrogativi potrebbero essere interpretati come strilli, ti invito quindi a usarne uno solo per volta. Inoltre ripetere la domanda dopo appena 4 minuti è vietato dal regolamento*: devono passare almeno 24h prima di sollecitare una risposta. In futuro chiuderò i 3d che non rispettano le regole.
*trovi il regolamento da consultare nel box rosa in alto.
Venendo alla tua difficoltà, magari ci si potrebbe chiarire le idee con qualche esempio, che ne dici?
L'insieme dei maggioranti (di un insieme che chiameremo D) è l'insieme degli elementi che sono più grandi di qualsiasi elemento di D. Quando il più piccolo dei maggioranti appartiene all'insieme D (il più piccolo degli elementi che maggiora D) allora si parla di massimo. Spiego con un esempio: ammettiamo di avere un intervallo in R (2, 347). L'insieme dei maggioranti sarà costituito dalla semiretta (347, piùinfinito). Il più piccolo dei maggioranti è 347 che però non è massimo in quanto non appartiene all'intervallo. Se però avessimo preso in esame l'intervallo (2, 347] in questo caso il 347 sarebbe stato massimo in quanto appartiene all'insieme.
"Andrewnow":
da alcuni appunti presi in classe dall'insegnante viene definito il maggiorante come il sostituto di massimo per gli insiemi che il massimo non ce l'hanno.
Questo è falso.
Non credo che alcun matematico possa aver detto ciò, quindi probabilmente avrai travisato il senso della frase.
Un maggiorante di un insieme \(A\) è semplicemente un numero \(M\) che risulti \(\geq\) di ogni elemento dell'insieme \(A\).
"Andrewnow":
Poi si afferma la seguente cosa: se un insieme ha un massimo tale massimo puo' essere definito come minimo dei maggioranti.
Certo, questo è vero... Ma non si tratta di definizione; piuttosto è un teorema e puoi dimostrarlo anche da te.
Per farlo basta ragionare per assurdo e ricordare la definizione di massimo di un insieme.
"Andrewnow":
Allora io mi chiedo: ma se il maggiorante e' un sostituto del massimo quando quest'ultimo non ce...come fa il massimo quando invece e' presente a essere definito come il minimo dei maggioranti se i maggioranti non sono altro che sostituti???
Vediamo se riesco a esprimermi meglio: se manca il massimo abbiamo il maggiorante ma se il massimo e' presente il sostituto di massimo come fa a esserci di nuovo? dovrebbe entrare in funzione solo se non ce il massimo....e invece la definizione dice che il massimo se e' presente entra a far parte del sostituto ovvero viene definito come minimo dei maggioranti...
qualcuno mi aiuta a capire bene questo discorso?????
Chiarito che maggiorante non è un sostituto di massimo in nessun caso, quello che fai è un discorso illogico.
Tanto per farti capire l'errore, prova a pensare cosa c'è di sbagliato in questo ragionamento:
Se non trovo l'ombrello, uso come sostituto l'impermeabile; quindi, se ho l'ombrello in mano sicuramente non ho l'impermeabile addosso.
Grazie per la collaborazione e per la disponibilità.
Volevo inoltre dire a gio73 che la prossima volta e seguiro' piu' attentamente il regolamento.
Buona giornata
Volevo inoltre dire a gio73 che la prossima volta e seguiro' piu' attentamente il regolamento.
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