Massimo di una funzione vincolata

[manu911]

salve a tutti
vorrei chiedere il vostro aiuto su un esercizio...
devo trovare il massimo della seguetne funzione $f(x,y)=1/2*x^2+y$ vincolta all'insieme $E={(x,y)|x*y=1}$
la soluzione è che il massimo non esiste solo che facendo i conti mi esce che il massimo è nel punto $(1,1)$ e corrisponde a $3/2$!!

[ciampax]

Il vincolo è una parabola nel piano. Puoi porre $y=1/x$ per tali punti, così da determinare la funzione ristretta ad $E$ come $f(x,1/x)=F(x)=x^2/2+1/x$. A questo punto lo studio della derivata porta
$$F'(x)=x-\frac{1}{x^2}=\frac{x^3-1}{x^2}$$
e per essa si vede che il punto $x=1$ risulta un minimo relativo, dal momento che $F$ decresce su $(-\infty,0)\cup(0,1)$ e cresce su $(1,+\infty)$. Non vi sono massimi, inoltre, poiché
$$\lim_{\to\pm\infty}F(x)=+\infty$$
e
$$\lim_{x\to 0^\pm}F(x)=\pm\infty$$
Ne puoi dedurre che l funzione originale ammette un minimo relativo nel punto $(1,1)$, e non ha massimi.

[manu911]

che stupido ahahaha non avevo proprio pensato ad un possibile minimo
il fatto che hai "modificato" la funzione con il vincolo si puo' sempre fare? oppure ci sono casi limite?

[ciampax]

Se riesci a parametrizzare la curva che rappresenta il vincolo, la cosa è fattibile. Altrimenti usi i moltiplicatori di Lagrange.