Massimo di un insieme
$E={(n!+n^8)/(n^n+2^n) | n in NN^+}$
Come dimostro che E ha massimo?
Come dimostro che E ha massimo?
Risposte
Dai, su... Butta giù qualche idea. Secondo me ci hai pensato pochissimo, oppure non ci hai pensato affatto. Non ci credo se mi dici che non hai mai studiato le successioni convergenti (e questo è un suggerimento nascosto).
Criterio della radice? Comunque se mostro che la successione è convergente non è detto che abbia massimo, no?
No, non è detto. Di solito non è detto, ma in questo caso sì. Quella è una successione positiva e infinitesima. Quindi ha massimo e lascio a te la dimostrazione di questo fatto. (hint: chiama ${a_n}$ la tua successione. Cosa succede per $epsilon=a_1$?)
Ah giusto, a1=2/3 è massimo perchè la successione è decrescente positiva infinitesima.
Non è proprio così. O meglio, sarebbe corretto se avessi dimostrato che la successione è decrescente. L'hai fatto?
Ma il risultato è vero pure se la successione non è decrescente. Tu sai che $forallepsilon\existsnu$ t.c.$ \foralln>nu, |a_n|
La situazione è questa ${a_1, a_2, a_3, ...}={a_1, a_2, ..., a_(nu)}uu{a_{nu+1), a_(nu+2), ...}$.
A secondo membro, l'ultimo insieme è composto da elementi che sono tutti più piccoli di qualche elemento del primo. E allora, dove lo vai a cercare il massimo? Nel primo insieme. E perché il primo insieme ammette massimo? Perché tutti gli insiemi finiti lo fanno.
Ma il risultato è vero pure se la successione non è decrescente. Tu sai che $forallepsilon\existsnu$ t.c.$ \foralln>nu, |a_n|
La situazione è questa ${a_1, a_2, a_3, ...}={a_1, a_2, ..., a_(nu)}uu{a_{nu+1), a_(nu+2), ...}$.
A secondo membro, l'ultimo insieme è composto da elementi che sono tutti più piccoli di qualche elemento del primo. E allora, dove lo vai a cercare il massimo? Nel primo insieme. E perché il primo insieme ammette massimo? Perché tutti gli insiemi finiti lo fanno.
Rimanendo in tema topologia...
$E_n={z in CC | z^n=1}$
$E=uuu_{n in NN^+} E_n$
Gli elementi di $E$ sono solo $1$ e $i$?
$E_n={z in CC | z^n=1}$
$E=uuu_{n in NN^+} E_n$
Gli elementi di $E$ sono solo $1$ e $i$?
No, thedarkhero, così non andiamo d'accordo però. Continui a postare tracce di esercizi, senza mostrare un accenno di tentativo di soluzione. Questo non va bene, ti consiglio di leggere meglio questo link:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#205717
punto 1.4 .
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#205717
punto 1.4 .
Senza postare un tentativo di soluzione? Ho scritto la mia soluzione, chiedendo se è corretta.
E come sei arrivato a questa soluzione? Te lo dico perché è sbagliata, e ci potevi arrivare da solo in un secondo, pensando a $-1$. Quanto fa $(-1)^2$?
[edit] oops! aspetta, ci devo pensare un attimo.
[riedit] ok. Avevo detto una cavolata, $E$ non è la circonferenza unitaria ma un suo sottoinsieme particolare. Per trovarlo, scrivi $z=rhoe^(itheta)$. Deve essere $z^n=1$, da cui $rho=1, ntheta=2kpi$ per qualche $k$ intero. Da qui riesci a calcolare $theta$: che valori può assumere?
[edit] oops! aspetta, ci devo pensare un attimo.
[riedit] ok. Avevo detto una cavolata, $E$ non è la circonferenza unitaria ma un suo sottoinsieme particolare. Per trovarlo, scrivi $z=rhoe^(itheta)$. Deve essere $z^n=1$, da cui $rho=1, ntheta=2kpi$ per qualche $k$ intero. Da qui riesci a calcolare $theta$: che valori può assumere?
Trovo $θ=2pi$ ma da quello come trovo z?
No. Guarda, $E$ è l'insieme dei punti della circonferenza unitaria di tipo $e^(ip/qpi)$. Cioè tutti i numeri complessi di modulo 1 e argomento razionale.
Questo perché dal fatto che (per n fissato) $ntheta=2kpi$ segue che $theta=2k/npi$ per qualche $k\inZZ$. Concludi tu.
P.S. Ma l'esercizio di prima lo hai risolto? E' chiaro cosa volevo dire? Ti ho convinto, o pensi che io dica fesserie (non che sia escluso, eh)? Hai cambiato argomento senza aggiungere altro.
Questo perché dal fatto che (per n fissato) $ntheta=2kpi$ segue che $theta=2k/npi$ per qualche $k\inZZ$. Concludi tu.
P.S. Ma l'esercizio di prima lo hai risolto? E' chiaro cosa volevo dire? Ti ho convinto, o pensi che io dica fesserie (non che sia escluso, eh)? Hai cambiato argomento senza aggiungere altro.
Sisi, sull'esercizio di prima ho concluso, grazie.
Riguardo questo esercizio quindi il derivato di E è l'insieme vuoto, in quanto derivato di un insieme in corrispondenza con i razionali?
Riguardo questo esercizio quindi il derivato di E è l'insieme vuoto, in quanto derivato di un insieme in corrispondenza con i razionali?
Scusa, dark, ogni insieme $E_n$ è composto dalle cosiddette radici $n$-esime complesse dell'unità.
Se avessi un po' studiato la teoria, dovresti sapere che tali numeri (quanti sono, per fissato $n$?) si dispongono in bell'ordine sulla circonferenza unitaria (quale ordine? Fai un po' di disegni).
Questo ti aiuta a visualizzare quanto detto prima da dissonance in maniera puramente analitica.
Ora, l'insieme $E$ è l'unione di tutti gli $E_n$: secondo quanto visto sopra, come sono distribuiti i punti di $E$ su $E_n$?
Quale può essere l'insieme delle accumulazioni di $E$?
La risposta è più naturale di quanto sembri.
Se avessi un po' studiato la teoria, dovresti sapere che tali numeri (quanti sono, per fissato $n$?) si dispongono in bell'ordine sulla circonferenza unitaria (quale ordine? Fai un po' di disegni).
Questo ti aiuta a visualizzare quanto detto prima da dissonance in maniera puramente analitica.
Ora, l'insieme $E$ è l'unione di tutti gli $E_n$: secondo quanto visto sopra, come sono distribuiti i punti di $E$ su $E_n$?
Quale può essere l'insieme delle accumulazioni di $E$?
La risposta è più naturale di quanto sembri.
Le radici n-sime dell'unità sono n e quindi i punti di E sono infiniti. Tuttavia sono tutti punti isolati perchè tra due razionali c'è sempre un irrazionale, giusto?
"thedarkhero":
Le radici n-sime dell'unità sono n e quindi i punti di E sono infiniti. Tuttavia sono tutti punti isolati perchè tra due razionali c'è sempre un irrazionale, giusto?
Ma nooooooooooo!!!
Rifletti bene prima di spararle così grosse.
Per $n->oo E_n->C$ dove C è la circonferenza unitaria.
Tuttavia $E$ tende ad essere la circonferenza unitaria ma sempre con qualche intervallo aperto in meno, giusto?
Tuttavia $E$ tende ad essere la circonferenza unitaria ma sempre con qualche intervallo aperto in meno, giusto?
"thedarkhero":
Per $n->oo E_n->C$ dove C è la circonferenza unitaria.
Non è tanto $E_n$ a tendere a $C$ (tra l'altro, dovresti pure precisare che significa passare al limite, visto che in $\wp(CC)$ mica hai una topologia...), quanto $\cup_(k=1)^n E_k$.
"thedarkhero":
Tuttavia $E$ tende ad essere la circonferenza unitaria ma sempre con qualche intervallo aperto in meno, giusto?
Ma perchè, conosci intervalli aperti in cui non cadano numeri razionali?
Beh...ci saranno 3 irrazionali consecutivi senza razionali in mezzo no? Altrimenti il derivato sarebbe la circinferenza unitaria.
"thedarkhero":
Beh...ci saranno 3 irrazionali consecutivi senza razionali in mezzo no?
Risposte come queste fanno pensare... Che ormai l'esame di Analisi I sia diventato una barzelletta in certe facoltà.
Ripetiti Analisi I da un libro decente, please.
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