Massimo della somma di due numeri complessi
Salve a tutti, in un esercizio il professore chiedeva di calcolare il massimo della somma di due numeri complessi. E ci diceva che la somma di due numeri complessi è massima quando i due numeri sono in fase. Ma non capisco il perchè? Qualcuno può spiegarmelo? Grazie.
Risposte
Questa domanda non ha senso, non te ne rendi conto? Pensaci un po' su, è una cosa importante.
Non c'è un massimo di numeri complessi. I numeri complessi non sono ordinati, non puoi dire che un numero complesso è più grande di un altro.
Altra cosa è se parli del *modulo* della somma di due numeri complessi...
Non c'è un massimo di numeri complessi. I numeri complessi non sono ordinati, non puoi dire che un numero complesso è più grande di un altro.
Altra cosa è se parli del *modulo* della somma di due numeri complessi...
Ciao Omi,
A parte che ovviamente ha ragione dissonance, in generale si ha:
$|z_1 + z_2 + ... + z_n| \le |z_1| + |z_2| + ... + |z_n| $
Chiaramente se $ z_1 = z_2 = ... = z_n = z $ vale il segno di uguaglianza. Se i numeri complessi sono solo due, allora si ha:
$|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2| $
Anche qui chiaramente se $ z_1 = z_2 = z $ vale il segno di uguaglianza. Ora se $z_1 = a + ib $ e
$z_2 = c + i d $ si ha:
$|(a + c) + i (b + d)| \le \sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{c^2 + d^2} $
$\sqrt{(a + c)^2 + (b + d)^2} \le \sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{c^2 + d^2} $
Quindi è chiaro che il modulo della somma di due numeri complessi è massimo se i due termini fra parentesi tonde non si elidono fra loro, cioè se sono concordi. Meglio ancora se sono uguali ($a = c$ e $b = d $), perché in tal caso vale il segno di uguaglianza.
Un bel testo lo aveva già consigliato proprio dissonance in un suo post in Analisi Superiore qualche tempo fa,
"Visual complex analysis" di Needham
A parte che ovviamente ha ragione dissonance, in generale si ha:
$|z_1 + z_2 + ... + z_n| \le |z_1| + |z_2| + ... + |z_n| $
Chiaramente se $ z_1 = z_2 = ... = z_n = z $ vale il segno di uguaglianza. Se i numeri complessi sono solo due, allora si ha:
$|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2| $
Anche qui chiaramente se $ z_1 = z_2 = z $ vale il segno di uguaglianza. Ora se $z_1 = a + ib $ e
$z_2 = c + i d $ si ha:
$|(a + c) + i (b + d)| \le \sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{c^2 + d^2} $
$\sqrt{(a + c)^2 + (b + d)^2} \le \sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{c^2 + d^2} $
Quindi è chiaro che il modulo della somma di due numeri complessi è massimo se i due termini fra parentesi tonde non si elidono fra loro, cioè se sono concordi. Meglio ancora se sono uguali ($a = c$ e $b = d $), perché in tal caso vale il segno di uguaglianza.
Un bel testo lo aveva già consigliato proprio dissonance in un suo post in Analisi Superiore qualche tempo fa,
"Visual complex analysis" di Needham
Allora avevo dei sospetti che quello detto dal prof fosse errato, perchè effettivamente nell'esercizio la somma dei numeri complessi era nel modulo, ma il professore forse aveva omesso di dire il max del modulo dei numeri complessi, parlando solo di max dei solo numeri complessi per pura distrazione. Però lui parla di fase nell'esercizio, dice che ( e a questo punto mi correggo) il modulo della somma di due numeri complessi è max quando sono in fase. Cosa significa?
In generale, se $z_1,z_2\in\mathbb{C}$, vale l'uguaglianza
$|z_1+z_2|^2=|z_1|^2 +|z_2|^2+2|z_1||z_2|\cos(\theta_1-\theta_2)$
dove $\theta_1, \theta_2$ indicano la fase di $z_1$ e quella di $z_2$, rispettivamente.
A questo punto, partono le domande:
1. Sapresti dimostrare l'uguaglianza?
2. Quando la somma al secondo membro è massima? Qual è la condizione da imporre sul coseno?
3. Come possiamo interpretare geometricamente il risultato?
Prova un po'.
$|z_1+z_2|^2=|z_1|^2 +|z_2|^2+2|z_1||z_2|\cos(\theta_1-\theta_2)$
dove $\theta_1, \theta_2$ indicano la fase di $z_1$ e quella di $z_2$, rispettivamente.
A questo punto, partono le domande:
1. Sapresti dimostrare l'uguaglianza?
2. Quando la somma al secondo membro è massima? Qual è la condizione da imporre sul coseno?
3. Come possiamo interpretare geometricamente il risultato?
Prova un po'.
Allora innanzitutto grazie per la risposta e scusa per il ritardo, per dimostrarlo faccio così :
$ (x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2 $
$ =x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2+2[(x_1*x_2)+(y_1*y_2)] = $
$ = |z_1|^2+|z_2|^2+2[(x_1x_2)+(y_1y_2)] $
$ = |z_1|^2+|z_2|^2+2Re[z1^** *z2] $
$ |z_1|^2+|z_2|^2+2|z_1|*|z_2|*cos(vartheta _1-vartheta _2) $
Per il coseno invece, ho che quella uguaglianza è massima quando vale 1, quindi i due angoli devono essere uguali.
Geometricamente invece ho un vettore al primo membro che è uguale alla somma di 3 vettori al secondo membro.
Però mi viene il semplice dubbio che sia la stessa cosa. Cioè nel mio caso tratto il modulo della somma di due numeri complessi, qui invece ho il modulo al quadrato. Non cambia nulla?
$ (x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2 $
$ =x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2+2[(x_1*x_2)+(y_1*y_2)] = $
$ = |z_1|^2+|z_2|^2+2[(x_1x_2)+(y_1y_2)] $
$ = |z_1|^2+|z_2|^2+2Re[z1^** *z2] $
$ |z_1|^2+|z_2|^2+2|z_1|*|z_2|*cos(vartheta _1-vartheta _2) $
Per il coseno invece, ho che quella uguaglianza è massima quando vale 1, quindi i due angoli devono essere uguali.
Geometricamente invece ho un vettore al primo membro che è uguale alla somma di 3 vettori al secondo membro.
Però mi viene il semplice dubbio che sia la stessa cosa. Cioè nel mio caso tratto il modulo della somma di due numeri complessi, qui invece ho il modulo al quadrato. Non cambia nulla?
Molto bene per la dimostrazione dell'uguaglianza.
Per quando riguarda il dubbio, osserva che il modulo della somma è massimo se, e solo se, è massimo il suo quadrato. Questa cosa è giustificata dal fatto che stiamo lavorando con moduli - quindi con numeri reali non negativi, su cui il quadrato è una funzione crescente.
Dal punto di vista geometrico stiamo affermando che il modulo della somma di numeri complessi è massimo se, e solo se, i due numeri hanno lo stesso argomento (sono in fase): ciò vuol dire che i vettori che rappresentano $z_1,z_2$ sono paralleli ed equiversi.
Per quando riguarda il dubbio, osserva che il modulo della somma è massimo se, e solo se, è massimo il suo quadrato. Questa cosa è giustificata dal fatto che stiamo lavorando con moduli - quindi con numeri reali non negativi, su cui il quadrato è una funzione crescente.
Dal punto di vista geometrico stiamo affermando che il modulo della somma di numeri complessi è massimo se, e solo se, i due numeri hanno lo stesso argomento (sono in fase): ciò vuol dire che i vettori che rappresentano $z_1,z_2$ sono paralleli ed equiversi.
Ultima cosa, perdonami. Se invece volessi calcolare il minimo di quella somma, otterrei il minimo quando i due vettori sono sfasati di $ pi $ giusto?
Esatto. Tuttavia, la mia natura di matematico mi impone di precisare che $\cos(\theta_1-\theta_2)=1$ se e solo se $\theta_1-\theta_2=2k\pi$ con $k\in\mathbb{Z}$. E $\cos(\theta_1-\theta_2)=-1$ se e solo se $\theta_1-\theta_2 =\pi+2k\pi$ con $k\in \mathbb{Z}$.
Dal punto di vista geometrico non cambia nulla, il modulo della somma è massimo se i vettori rappresentanti $z_1,z_2 $ sono paralleli ed equiversi. È minimo se I vettori sono paralleli e antiversi.
Dal punto di vista geometrico non cambia nulla, il modulo della somma è massimo se i vettori rappresentanti $z_1,z_2 $ sono paralleli ed equiversi. È minimo se I vettori sono paralleli e antiversi.
Tutto chiaro, ti ringrazio infinitamente! Ringrazio tutti per il supporto!
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