Massimizzazione vincolata con funzione lineare (non semplicissimo, ma stimolante)
Salve a tutti amici matematici, sono alle prese con un problema di massimizzazione vincolata. Ho la seguente funzione
$E[\pi] = (1-r)[\alpha b- (1-p)C-K]+T $
che voglio massimizzare rispetto alla variabile $r$ avendo però il seguente vincolo:
$U = (1-r)b-T \geq 0$.
Il problema è di natura economica ma non è rilevante ai fini del quesito in quanto sono interessato alla mera risoluzione matematica. Alcune informazioni sulle "lettere". La nostra variabile $r$ è un numero tra $0$ e $1$, $p$ è una probabilità, $\alpha,b,C,K$ e $T$ sono tutte costanti positive. Se può semplificare la risoluzione del problema, si può anche assumere $\alpha$ compreso tra $0$ e $1$. Altra assunzione (chiamiamola assunzione $\&$) è che $(1-p)C+K>\alpha b$.
Inizialmente ho provato con Kuhn-Tucker, ma con scarsi risultati visto che derivando la funzione obiettivo (rispetto $r$) ho che $r$ sparisce e quindi non riesco a trovare niente di utile.
Poi ho seguito un approccio più intuitivo, e sono partito dall'ipotizzare inizialmente che il vincolo va soddisfatto con l'uguaglianza, quindi $U=0$ così da ottenere tutto in funzione di $r$ per poi sostituire nella funzione obiettivo.
Smanettando un po' arrivo a
$T \frac{\alpha b - (1-p)C-K}{b} + T$.
A questo punto posso usare l'assunzione $\&$ per arrivare al fatto che il primo $T$ nell'espressione sopra avrà segno meno, non riesco però a capire come concludere se sia più grande, uguale o più piccolo del secondo $T$ in quanto è moltiplicato per qualcosa.
Sapreste suggerirmi se c'è un modo più semplice per procedere, insomma grazie a chiunque voglia dare una mano.
$E[\pi] = (1-r)[\alpha b- (1-p)C-K]+T $
che voglio massimizzare rispetto alla variabile $r$ avendo però il seguente vincolo:
$U = (1-r)b-T \geq 0$.
Il problema è di natura economica ma non è rilevante ai fini del quesito in quanto sono interessato alla mera risoluzione matematica. Alcune informazioni sulle "lettere". La nostra variabile $r$ è un numero tra $0$ e $1$, $p$ è una probabilità, $\alpha,b,C,K$ e $T$ sono tutte costanti positive. Se può semplificare la risoluzione del problema, si può anche assumere $\alpha$ compreso tra $0$ e $1$. Altra assunzione (chiamiamola assunzione $\&$) è che $(1-p)C+K>\alpha b$.
Inizialmente ho provato con Kuhn-Tucker, ma con scarsi risultati visto che derivando la funzione obiettivo (rispetto $r$) ho che $r$ sparisce e quindi non riesco a trovare niente di utile.
Poi ho seguito un approccio più intuitivo, e sono partito dall'ipotizzare inizialmente che il vincolo va soddisfatto con l'uguaglianza, quindi $U=0$ così da ottenere tutto in funzione di $r$ per poi sostituire nella funzione obiettivo.
Smanettando un po' arrivo a
$T \frac{\alpha b - (1-p)C-K}{b} + T$.
A questo punto posso usare l'assunzione $\&$ per arrivare al fatto che il primo $T$ nell'espressione sopra avrà segno meno, non riesco però a capire come concludere se sia più grande, uguale o più piccolo del secondo $T$ in quanto è moltiplicato per qualcosa.
Sapreste suggerirmi se c'è un modo più semplice per procedere, insomma grazie a chiunque voglia dare una mano.
Risposte
Intanto, prima ancora di iniziare, poni \(s=1-r\) e usa quella come nuova variabile indipendente. Poi poni
\[
A=(1-p)C + K -\alpha b, \]
che è una costante positiva per via della tua assunzione & (che etichetta buffa!). Stai quindi cercando di risolvere il problema
\[
\max\{-As + T\, :\, sb-T\ge 0\ ,\ s\in [0,1]\}.\]
Adesso è pronto per essere trattato matematicamente.
Io dico che il massimizzatore è \(s= T/b\), vediamo se sei d'accordo.
\[
A=(1-p)C + K -\alpha b, \]
che è una costante positiva per via della tua assunzione & (che etichetta buffa!). Stai quindi cercando di risolvere il problema
\[
\max\{-As + T\, :\, sb-T\ge 0\ ,\ s\in [0,1]\}.\]
Adesso è pronto per essere trattato matematicamente.
Io dico che il massimizzatore è \(s= T/b\), vediamo se sei d'accordo.
Ciao dissonance, intanto grazie mille per la risposta. Faccio un tentativo usando il tuo suggerimento.
Imposto il problema con la Lagrangiana:
$L = -As + T - \lambda(sb-T)$
da cui le F.O.C.
$\frac{\partialL} { \partial s} = - A-\lambda b = 0 \rightarrow \lambda = -A/b$
$\frac{\partialL} { \partial \lambda} = -sb+T = 0 \rightarrow s = T/b$
Se non ho fatto pasticci, come faccio ad essere sicuro che $s=T/b$ è il punto di massimo (dovrei andare di S.O.C.?)? Inoltre, mi piacerebbe sapere il segno di $E[\pi]$ in corrispondenza di suddetto punto. Se sostituisco ottengo $T(1-\frac{A}{b})$, date le nostre assunzioni possiamo dire se è maggiore o uguale a zero?
Imposto il problema con la Lagrangiana:
$L = -As + T - \lambda(sb-T)$
da cui le F.O.C.
$\frac{\partialL} { \partial s} = - A-\lambda b = 0 \rightarrow \lambda = -A/b$
$\frac{\partialL} { \partial \lambda} = -sb+T = 0 \rightarrow s = T/b$
Se non ho fatto pasticci, come faccio ad essere sicuro che $s=T/b$ è il punto di massimo (dovrei andare di S.O.C.?)? Inoltre, mi piacerebbe sapere il segno di $E[\pi]$ in corrispondenza di suddetto punto. Se sostituisco ottengo $T(1-\frac{A}{b})$, date le nostre assunzioni possiamo dire se è maggiore o uguale a zero?
Non mi pare ci sia bisogno di tutto questo spiegamento di forze. La funzione
\[
s\in [0, 1] \mapsto -As + T \]
è, ovviamente, massima quando \(s\) è minimo, ovvero per \(s=0\). Però c'è da rispettare il vincolo
\[
sb-T\ge 0,\]
e se \(s=0\) e \(T\) è strettamente positivo, il vincolo non è rispettato.
Allora raffiniamo un po' il ragionamento. La funzione obiettivo è decrescente, quindi dobbiamo prendere \(s\) più piccolo possibile. Il vincolo ci dice che \(s\ge T/b\), quindi come minimo \(s\) deve essere uguale a \(T/b\). Qui in effetti non siamo sicuri che \(T/b\) sia più piccolo di \(1\), come avevo supposto nel mio post precedente.
In conclusione, il massimizzatore è \(s=T/b\) se \(T/b\le 1\), ed è \(s=1\) se \(T/b >1\).
\[
s\in [0, 1] \mapsto -As + T \]
è, ovviamente, massima quando \(s\) è minimo, ovvero per \(s=0\). Però c'è da rispettare il vincolo
\[
sb-T\ge 0,\]
e se \(s=0\) e \(T\) è strettamente positivo, il vincolo non è rispettato.
Allora raffiniamo un po' il ragionamento. La funzione obiettivo è decrescente, quindi dobbiamo prendere \(s\) più piccolo possibile. Il vincolo ci dice che \(s\ge T/b\), quindi come minimo \(s\) deve essere uguale a \(T/b\). Qui in effetti non siamo sicuri che \(T/b\) sia più piccolo di \(1\), come avevo supposto nel mio post precedente.
In conclusione, il massimizzatore è \(s=T/b\) se \(T/b\le 1\), ed è \(s=1\) se \(T/b >1\).
Il ragionamento mi convince. Ho giusto qualche dubbio sul massimizzatore nel caso $T/b>1$. In tal caso, se prendessi $s=1$, non violerei il vincolo? Se $s=1$, il vincolo diventa $b-T$, ma essendo $T/b>1$ il vincolo diventa negativo. Dove sbaglio? Altra cosa, con questi dati nel caso in cui $s=T/b$ non possiamo dire nulla sul segno di $-As+T$ giusto? Grazie ancora.
Non sbagli. Se $T>b$ il vincolo è vuoto, nel senso che qualsiasi sia $s\in[0,1]$ il vincolo non è rispettato. Quindi non ci sono massimizzatori né niente, il problema si svuota.
Quanto al segno di $-As+T$, sostituendo $s=T/b$ abbiamo
\[
T\frac{b-A}{b}, \]
che ha il segno di \(b-A\), quindi tocca andare a sostituire ad \(A\) il suo valore e studiare il segno.
Quanto al segno di $-As+T$, sostituendo $s=T/b$ abbiamo
\[
T\frac{b-A}{b}, \]
che ha il segno di \(b-A\), quindi tocca andare a sostituire ad \(A\) il suo valore e studiare il segno.
Perfetto. Allora, ricapitolando. Il massimizzatore c'è se $T/b \leq 1$, ed è $s=T/b$, da cui ovviamente $r=1-T/b$ che è il valore di $r$ che massimizza $E[\pi]$. Sostituendo tale valore in $E[\pi]$ ottengo che $E[\pi]>0$ se $b-A>0$ ovvero se $b>(1-p)C + K -\alpha b$. Con questi dati però non sappiamo se effettivamente $b>A$. Concordi?
Avevo dimenticato di rispondere. Si, concordo. La condizione di positività si può riscrivere così, forse ti è operativamente più comoda:
\[\tag{1}
b>\frac{(1-p)C+K}{1+\alpha}.\]
Non so se quadra con il modello matematico, ma io interpreto questa formula come segue: se \(b\) è troppo piccolo allora il massimizzatore è negativo. Tieni comunque presente che \(b\ge T\), quindi se \(T\) è più grande del membro destro in (1) il massimizzatore è positivo, può darsi che questo sia compatibile con il modello.
Qui in effetti la matematica è finita e siamo tornati nella modellistica.
\[\tag{1}
b>\frac{(1-p)C+K}{1+\alpha}.\]
Non so se quadra con il modello matematico, ma io interpreto questa formula come segue: se \(b\) è troppo piccolo allora il massimizzatore è negativo. Tieni comunque presente che \(b\ge T\), quindi se \(T\) è più grande del membro destro in (1) il massimizzatore è positivo, può darsi che questo sia compatibile con il modello.
Qui in effetti la matematica è finita e siamo tornati nella modellistica.
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