Massimizzazione vincolata col metodo di Lagrange

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29 dic 2016, 12:31

Salve ragazzi, intanto auguri a tutti di buon Natale visto che non scrivo da un po'! Purtroppo io sto respirando poco spirito natalizio e molto matematico in questi giorni

Ho un problema che mi sta facendo sclerare, vi illustro la questione.
Data la seguente funzione di utilità
$U_1(x_1,x_2,m_1)=x_1^(a_1)x_2^(a_2)m_1^(a_m)$

sotto il vincolo

$p_1x_1+p_2x_2+m_1<=M_1+p_1Q_1$

imposto la funzione langragiana:

$U(x_1,x_2,m_1)+l(M_1+p_1Q_1-p_1x_1-p_2x_2-m_1)$

imposto il sistema di derivate parziali e poi risolvendo non riesco ad arrivare a nessuna conclusione

dovrei ottenere

$x_1=a_1((M_1+p_1Q_1)/p_1)$

soluzione analoga per $x_2$

e $m_1=a_m((M_1 + p_1Q_1)$

non so che pesci pigliare come ora, se qualcuno potesse illustrarmi i passaggi anche per una sola delle tre soluzioni mi salverebbe la vita! Grazie a chiunque risponderà...

Risposte

Antimius

30 dic 2016, 12:50

La derivata rispetto a $m_1$ ti dà: $l =a_mx_1^{a_1}x_2^{a_2}m_1^{a_m-1}$. Sostituendo nelle equazioni date dalle altre due derivate parziali, ottieni $a_1m_1 = p_1a_mx_1$ e $a_2m_1 = p_2a_mx_2$ (se ho svolto bene i conti) per $x_1 \ne 0$ e $x_2 \ne 0$ rispettivamente e per $m_1 \ne 0$ (studia a parte cosa succede quando questi sono uguali a $0$). Ora sostituendo questi due valori nell'equazione di vincolo, dovresti trovare $m_1$.

Chiò1

31 dic 2016, 12:55

Siiiiiiiii, risulta! Avevo dimenticato una cosa fondamentale, che la somma fra a1,a2 e am è uguale a 1! Provo a ricavarmi le tue soluzioni, ti ringrazio infinitamente! Una cosa, puoi dirmi come ti ricavi a1m1? Cioè come fai le sostituzioni?

Antimius

31 dic 2016, 13:16

Facendo la derivata parziale rispetto a $x_1$ ottengo $a_1x_1^{a_1-1}x_2^{a_2}m_1^{a_m} - l p_1=0$. Sostituendo il valore di $l$ ottengo: $a_1x_1^{a_1-1}x_2^{a_2}m_1^{a_m}=p_1 a_m x_1^{a_1} x_2^{a_2} m_1^{a_m-1}$. Semplificando, ottieni quello che ho scritto su

Per $a_2m_1$ idem.