Massimizzare/Minimizzare funzione in 2 variabili
Buona Domenica a tutti,
Dato un triangolo equilatero, determinare dentro la sua superficie, un punto $P$, in modo che la somma delle distanze dal punto ai vertici sia massima(prima) e sia minima(dopo).
La funzione da massimizzare, l' ho trovata(sperando di non aver sbagliato) ma dipende da due variabili (un segmento $x$ e l'angolo che lo sottende $z$; $L$ è il lato costante):
${ f(x,z) = x + sqrt(x^2 + L^2 - 2 * x * L*cos(z)) + sqrt[x^2 + L^2 - 2 * x * L * cos(pi/3-z)]$
${ 0 < x < L$
non so come procedere...
Dato un triangolo equilatero, determinare dentro la sua superficie, un punto $P$, in modo che la somma delle distanze dal punto ai vertici sia massima(prima) e sia minima(dopo).
La funzione da massimizzare, l' ho trovata(sperando di non aver sbagliato) ma dipende da due variabili (un segmento $x$ e l'angolo che lo sottende $z$; $L$ è il lato costante):
${ f(x,z) = x + sqrt(x^2 + L^2 - 2 * x * L*cos(z)) + sqrt[x^2 + L^2 - 2 * x * L * cos(pi/3-z)]$
${ 0 < x < L$
non so come procedere...
Risposte
Non ho ben capito come hai posto il sistema di assi cartesiani. Però io, così ad occhio, disegnerei il triangolo equilatero in modo che il suo baricentro-ortocentro-incentro-circocentro coincida con l'origine degli assi cartesiani e abbia un vertice sull'asse $x$ dalla parte positiva. Mi pare che in questo modo al fine di determinare la posizione del punto basti usare delle coordinate polari, con opportune limitazioni su $\rho$ (la distanza del punto dall'origine) che dipendono dall'angolo $\theta$.
Inoltre avrei una domanda: la richiesta è che il punto sia contemporaneamente max e min (hai messo una "e"), oppure sono due richieste distinte 8in quel caso ci voleva una "o")?
Inoltre avrei una domanda: la richiesta è che il punto sia contemporaneamente max e min (hai messo una "e"), oppure sono due richieste distinte 8in quel caso ci voleva una "o")?
"ciampax":
Non ho ben capito come hai posto il sistema di assi cartesiani. Però io, così ad occhio, disegnerei il triangolo equilatero in modo che il suo baricentro-ortocentro-incentro-circocentro coincida con l'origine degli assi cartesiani e abbia un vertice sull'asse $x$ dalla parte positiva. Mi pare che in questo modo al fine di determinare la posizione del punto basti usare delle coordinate polari, con opportune limitazioni su $\rho$ (la distanza del punto dall'origine) che dipendono dall'angolo $\theta$.
Ok proverò cosi'...
Inoltre avrei una domanda: la richiesta è che il punto sia contemporaneamente max e min (hai messo una "e"), oppure sono due richieste distinte in quel caso ci voleva una "o")?
Si la richiesta era di calcolare in tutte e due i modi prima $e$ dopo, anche perchè è piuttosto impossibile che sia contemporaneamente sia un punto di massimo che un punto di minimo...
Altrimenti se mettevo la $o$ si poteva intendere con un $o$ esclusivo e non era ciò che chiedevo.
Ti ringrazio intanto per il suggerimento, trovo che è possibile eliminare una variabile cosi', ma i calcoli non sono semplicissimi comunque. 
Non ho detto che i calcoli sarebbero stati semplici. Comunque direi che, per una questione di simmetrie, potresti anche "ridurre" la superficie in cui trovare il punto, considerando il triangolo rettangolo che ha come vertici un vertice del triangolo equilatero, il punto medio di uno dei lati passanti per questo vertice e l'incentro. Non so però se questo effettivamente semplifica qualcosa.
Prendo spunto da Qui
Prendiamo il triangolo equilatero con vertici in $(-1,0)$, $(1,0)$ e $(0,sqrt(3))$.
Allora preso un punto $(x,y)$ all'interno del triangolo la distanza dai vertici è
$
f(x,y)=sqrt((x+1)^2+y^2)+\sqrt((x-1)^2+y^2)+sqrt(x^2+(y-sqrt(3))^2)
$
Continuate come nel link che vi ho riportato e direi che si possa concludere che il max si trova nel bordo, per ragioni di simmetria studiate un solo lato e la strada sarà in discesa.
Per quanto riguarda il minimo, essendo la funzione convessa non costante si troverà all'interno e sarà unico (in realtà potrebbero essere un infinità allineata ma in questo caso sempre per ragioni di simmetria non può accadere).
Allora per ragioni di simmetria dovrà essere per forza il baricentro del triangolo.
Prendiamo il triangolo equilatero con vertici in $(-1,0)$, $(1,0)$ e $(0,sqrt(3))$.
Allora preso un punto $(x,y)$ all'interno del triangolo la distanza dai vertici è
$
f(x,y)=sqrt((x+1)^2+y^2)+\sqrt((x-1)^2+y^2)+sqrt(x^2+(y-sqrt(3))^2)
$
Continuate come nel link che vi ho riportato e direi che si possa concludere che il max si trova nel bordo, per ragioni di simmetria studiate un solo lato e la strada sarà in discesa.
Per quanto riguarda il minimo, essendo la funzione convessa non costante si troverà all'interno e sarà unico (in realtà potrebbero essere un infinità allineata ma in questo caso sempre per ragioni di simmetria non può accadere).
Allora per ragioni di simmetria dovrà essere per forza il baricentro del triangolo.
"curie88":
Se gli allievi non capiscono, il torto è dell'insegnante che non sa spiegare. Giuseppe Peano.
viewtopic.php?p=164148#p164148
ok @wilde, grazie, mi rendo conto che il risultato è anche intuitivamente prevedibile.
@Fioravante Patrone, resto del parere che l' insegnante deve saper rendere piacevole la disciplina oltre a saperla spiegare.
E' chiaro poi che anche l'alunno deve contribuire, ma lo fa sempre se è motivato.
@Fioravante Patrone, resto del parere che l' insegnante deve saper rendere piacevole la disciplina oltre a saperla spiegare.
E' chiaro poi che anche l'alunno deve contribuire, ma lo fa sempre se è motivato.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo