Massimi / Minimi vincolati
Ciao a tutti!
Ho una domanda da farvi - spero non sia già stata chiesta, ma non ho trovato topic simili - riguardo le varietà e i massimi e minimi vincolati.
Una volta che ho trovato i punti critici con i moltiplicatori di Lagrange (mettendo uguale a zero lo Jacobiano), mi trovo in difficoltà a studiarne la natura, perché molto spesso l'Hessiano risulta alquanto laborioso e fare considerazioni a partire dalla funzione mi è difficile.
Ora, so che se l'insieme su cui devo trovare i max/min della funzione è un compatto (quindi in Rn mi basta avere che sia chiuso + limitato), per Weierstrass la f ammette max e min, e dunque so che necessariamente tra i pti critici trovati quello in cui la f assume valore maggiore è il Massimo Assoluto mentre viceversa dove assume il valore minore è Minimo Assoluto.
Il mio dubbio (da brava pigrona) è questo: in generale, una varietà è sempre un compatto? Mi piacerebbe tanto fosse vero, ma ci credo poco (non saprei come dimostrarlo, e credo che - se cosi fosse - il prof in classe l'avrebbe menzionato). Ma, data una varietà, come faccio a controllare se sia davvero chiusa e limitata? Finché si tratta di insiemi facili, come la sfera, che si vede a occhio, va bene, ma se ho un'equazione più generale, di cui graficamente non riesco a farmi bene un'idea, c'è un modo per verificare velocemente se è chiusa e limitata?
Grazie e scusate il disturbo!
Ho una domanda da farvi - spero non sia già stata chiesta, ma non ho trovato topic simili - riguardo le varietà e i massimi e minimi vincolati.
Una volta che ho trovato i punti critici con i moltiplicatori di Lagrange (mettendo uguale a zero lo Jacobiano), mi trovo in difficoltà a studiarne la natura, perché molto spesso l'Hessiano risulta alquanto laborioso e fare considerazioni a partire dalla funzione mi è difficile.
Ora, so che se l'insieme su cui devo trovare i max/min della funzione è un compatto (quindi in Rn mi basta avere che sia chiuso + limitato), per Weierstrass la f ammette max e min, e dunque so che necessariamente tra i pti critici trovati quello in cui la f assume valore maggiore è il Massimo Assoluto mentre viceversa dove assume il valore minore è Minimo Assoluto.
Il mio dubbio (da brava pigrona) è questo: in generale, una varietà è sempre un compatto? Mi piacerebbe tanto fosse vero, ma ci credo poco (non saprei come dimostrarlo, e credo che - se cosi fosse - il prof in classe l'avrebbe menzionato). Ma, data una varietà, come faccio a controllare se sia davvero chiusa e limitata? Finché si tratta di insiemi facili, come la sfera, che si vede a occhio, va bene, ma se ho un'equazione più generale, di cui graficamente non riesco a farmi bene un'idea, c'è un modo per verificare velocemente se è chiusa e limitata?
Grazie e scusate il disturbo!
Risposte
Beh, $RR^n$ è una varietà differenziabile di dimensione $n$.
E non è compatto! Non mi preoccuperei del problema per ora, in seguito affronterai la definizione di varietà differenziabile ben più generali..e in quei casi studierai come affrontare i problemi.
Per ora limitati a vedere un po' caso per caso, tanto gli esercizi che ti saranno proposti saranno "intuitivi" da questo punto di vista. Insomma, ti sto dicendo di tranquillizzarti. Ma magari non è la risposta giusta. Potresti provare a "buttare l'occhio più in là" e vedere qualche cosa più generale.
E non è compatto! Non mi preoccuperei del problema per ora, in seguito affronterai la definizione di varietà differenziabile ben più generali..e in quei casi studierai come affrontare i problemi.
Per ora limitati a vedere un po' caso per caso, tanto gli esercizi che ti saranno proposti saranno "intuitivi" da questo punto di vista. Insomma, ti sto dicendo di tranquillizzarti. Ma magari non è la risposta giusta. Potresti provare a "buttare l'occhio più in là" e vedere qualche cosa più generale.
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