Massimi, minimi e Taylor
Stavo leggendo un libro di fisica e mi sono imbattuto nella frase "ogni potenziale con un minimo può essere sempre approssimato ad una parabola, nell'introno del minimo". Si, è una cavolata, ma non ci avevo mai fatto caso e vorrei avere la conferma al 101% (anche se mi pare una cosa ovvia): se faccio lo sviluppo in serie di Taylor in x0 per ogni funzione che presenti un massimo o un minimo, nell'introno di x0 (massimo o minimo), questa funzione sarà sempre approssimabile da una parabola.
Risposte
Sommariamente, l'idea è che attorno al minimo di una funzione regolare a sufficienza, tu possa fare uno sviluppo di Taylor e trovare che
\[
f(x) = f(x_m) + \nabla f(x_m)(x-x_m) + \left\langle H(f, x_m)(x-x_m), x-x_m\right\rangle + o(|x-x_m|^3)
\] dove rispettivamente
\[
f(x) = f(x_m) + \nabla f(x_m)(x-x_m) + \left\langle H(f, x_m)(x-x_m), x-x_m\right\rangle + o(|x-x_m|^3)
\] dove rispettivamente
[*:13bdehuw] $x_m$ è il punto di minimo;[/*:m:13bdehuw]
[*:13bdehuw] $\nabla f(x_m)$ è il gradiente della funzione potenziale valutato nel punto di minimo;[/*:m:13bdehuw]
[*:13bdehuw] $H(f,x_m)$ è l'hessiana valutata nel punto di minimo.[/*:m:13bdehuw][/list:u:13bdehuw]
La frase del libro è un po' imprecisa...che si tratti di massimo, minimo o qualsiasi altro punto (non singolare) una funzione $U(x)$ sufficientemente regolare puó essere approssimata con Taylor, la particolarità dei massimi e minimi è che in essi la derivata (o gradiente) è nulla, quindi al secondo ordine $U$ è approssimata da una forma quadratica $U=1/2ax^2$ (non parlerei di parabola...infatti anche $a+bx+cx^2$ è una parabola...), evitando il concetto di parabola si generalizza meglio anche per campi scalari $U(x,y,z)$ nello spazio, in questo caso nei punti stazionari il potenziale è approssimabile dalla forma quadratica $U=1/2sumsuma_(ij)x_ix_j=1/2vecx*Hvecx$, essendo $H$ la matrice hessiana di U calcolata nel punto stazionario. L'utilità di fare ció è che cosí facendo ottieni una relazione lineare tra forza e potenziale attorno all'equilibrio, il concetto si puó generalizzare anche ai campi tensoriali, per esempio in elasticità lineare attorno a un punto di minimo dell'energia, l'energia elastica viene approssimata al secondo ordine rispetto al tensore della deformazione : $e=1/2epsilon*CCepsilon$, in questo caso $CC$ è un tensore del 4 ordine.
p.s. Mentre scrivevo hanno già risposto, dicendo la stessa cosa.
p.s. Mentre scrivevo hanno già risposto, dicendo la stessa cosa.
Grazie mille delle risposte. Potrei sapere cosa si intende per funzione "regolare a sufficienza"? E' da intendersi che il minimo non sia, ad esempio, un punto angoloso ?
PS: @killing_buddha potrei sapere, per curiosità, che tipo di notazione è questa? E poi, se non erro, l'o-piccolo non dovrebbe essere alla seconda ?
$⟨H(f,xm)(x−xm),x−xm⟩+o(|x−xm|3)$
PS: @killing_buddha potrei sapere, per curiosità, che tipo di notazione è questa? E poi, se non erro, l'o-piccolo non dovrebbe essere alla seconda ?
$⟨H(f,xm)(x−xm),x−xm⟩+o(|x−xm|3)$
È la notazione "matematichese" per il prodotto scalare $$.
Si nell'o-piccolo dovrebbe esserci un 2 all'esponente, e dovrebbe esserci un fattore 1/2 che moltiplica l'hessiano.
Si nell'o-piccolo dovrebbe esserci un 2 all'esponente, e dovrebbe esserci un fattore 1/2 che moltiplica l'hessiano.
Perfetto, grazie tante
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