Massimi, minimi e punti angolosi di una funzione

[Sama1]

Abbiamo f(x)=$x^2$+$|x^2,-4|$ $f: (-3,5) \to RR$
La funzione è continua in tale intervallo ed essendo presente il modulo la divido in due funzioni, trovando che sarà positiva per
[-3, -2] V [2, 5] e invece negativa per (-2,2) corretto?
La f(x) viene divisa in:
f(x):$\{(2x^2-4),(4):}$
Il primo se x $in$ [-3, -2] V [2, 5]
Il secondo se x $in$ (-2,2)

Dovendo calcolare massimo/minimo assoluto, massimi/minimi relativi e punti angolosi, considero intanto i punti di frontiera ovvero -3 e 5
f(-3)=14
f(5)=46
Gli altri punti li ricerco tramite la derivata prima f'(x) ponendola uguale a 0 o cercando dove non esiste la derivata prima
f'(x):$\{(4x),(0):}$
Arrivato qui come procedo? Il libro mi fa osservare che -2 e 2 sono punti angolosi ma come lo capisco? So che sono punti angolosi quando hanno derivata primi sinistra e destra diverse, ma come faccio a capire che -2 e 2 sono proprio punti angolosi?
I restanti massimo/minimo assoluti e massimi/minimi relativi come li trovo? Se potreste spiegare dettagliatamente come si fa vi sarei grato, grazie

[Peter Pan1]

Ciao Sama
Leggendo quello che hai scritto mi sembra che tu non abbia commesso errori. Hai fatto bene a dividere la funzione su diversi intervalli vista la presenza del modulo. Per quanto riguarda i punti angolosi, ricorda che quando c'è un modulo, in generale sono presenti perchè il modulo varia molto rapidamente la tangente al grafico. Ora come si fa ad individuarli?
Devi usare la definizione che hai scritto tu: sono quei punti in cui la derivata assume due valori finiti diversi a destra e a sinistra. Si può fare in due modi: 1) limite destro e sinistro del rapporto incrementale
2) derivare e verificare la mancanza di continuità della derivata
1) $ lim_(x -> x_0^-)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=lim_(x -> -2^-)(2x^2-4-8+4)/(x-(-2))=-8 $ dove ho preso $ 2x^2-4 $ come $ f(x) $ perchè sono a sinistra di -2.
$ lim_(x -> x_0^+)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=lim_(x -> -2^+)(4-4)/(x-(-2))=0 $ dove ho preso $ 4 $ come $ f(x) $ perchè sono a destra di -2.
Per $x_0=2 $ il ragionamento è analogo.
Abbiamo quindi che i due limiti sono diversi.
2) Derivi e ottieni $ f'(x)={ (4x),( 0 ):} $ che valgono nei rispettivi intervalli $ -3 Se fai il limite per $ x->-2^- $ devi prendere la prima di queste due e ottieni $ -8 $ mentre se $ x->-2^+ $ ottieni 0.
Quindi la derivata non è continua e ci sono dei punti angolosi.
Tutto questo lo vedi bene se fai un grafico della funzione divisa per intervalli. Nei punti -2 e 2 vedi che la tangente passa da"obliqua" a "orizzontale" molto rapidamente e senza continuità.
Spero di averti chiarito un pò le idee.
Ciao!