Massimi, minimi assoluti e vincolati

[Gost91]

Buon pomeriggio ragazzi, per me la giornata è ancora molto lunga :-) :

Ora mi si chiede di calcolare i massimi, minimi di:

$f(x,y)=(x^2+y^2)/(e^(x^2+y^2))$

e anche quando f(x,y) è ristretta al dominio:

$D:x,y in RR^2:x^2+y^2<=4$

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Allora incomincio dal più semplice, cioè l'individuazione dei punti di massimo e minimo assoluti:

I punti candidati a essere max/min sono i punti stazionari, cioè i punti dove le derivate parziali sono nulle, i punti dove non esiste il gradiente e punti sulla frontiera.

f(x,y) dovrebbe essere definita in tutto $RR^2$, anzi dovrebbe essere definita in $RR_+^2$, quindi non dovrebbe possedere bordo (dovrei controllare i punti dove $frarrinfty$).

Cerco i punti stazionari:

$(delf)/(delx)=(2xe^(x^2+y^2)-(x^2+y^2)2xe^(x^2+y^2))/(e^2(x^2+y^2))=(2x(1-x^2-y^2))/(e^(x^2+y^2))$

se non ho sbagliato a fare conti.

analogo $(delf)/(dely)=(2y(1-x^2-y^2))/(e^(x^2+y^2))$

quindi risolvo il sistema:

$\{((2x(1-x^2-y^2))/(e^(x^2+y^2))=0),((2y(1-x^2-y^2))/(e^(x^2+y^2))=0):}$

e qui i miei superpoteri da vero ignorante della matematica entrano in gioco:

$\{((2x(1-x^2-y^2))=0),((2y(1-x^2-y^2))=0):}={(x=0),(y=0):} ^^ {1-x^2-y^2=0:}$

e mi blocco individuando solo una delle ipotetiche 9 soluzioni (????)

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Per quanto riguarda la ricerca dei massimi/minimi vincolati dovrei individuare tutti i punti in cui il gradiente della funzione vincolante possiede la stessa direzione del gradiente di f(x,y), il

che dovrebbe significare (geometricamente) che il vincolo tange una linea di livello della funzione, quindi risulta stazionante.

Matematicamente (chiamando il vincolo g(x,y)=costante)

$\{nablaf=lambdanablag:}$

quindi :

g(x,y)=x^2+y^2<=4

$(delg)/(delx)=2x$

$(delg)/(dely)=2y$

ricostruendo il sistema:

$\{((2x(1-x^2-y^2))/(e^(x^2+y^2))=lambda2x),((2y(1-x^2-y^2))/(e^(x^2+y^2))=lambda2y),(x^2+y^2<=4):}$

ricordandomi di aver litigato da piccino con la matematica, mi accorgo che non riesco a risolvere il sistema

Qualcuno potrebbe gentilmente darmi una mano a risolvere l'esercizio?
Grazie mille

[And_And92]

Scusa l'ignoranza ma perchè dovrebbero essere 9 i punti stazionari?? Nella risoluzione del sistema penso tu abbia sbagliato l'operatore logico... penso ci vada un $vv$ mi paiono giuste le derivate: hai ottenuto un punto stazionario in $O(0,0)$ e una circonferenza di punti stazionari di equazione $x^2+y^2=1$... la circonferenza goniometrica... traslata lungo z ad un'altezza di $1/e$ [OT]PS:scusa per la faccina ma mi piaceva troppo[/OT]

[Rigel1]

Forse conviene osservare che la funzione è a simmetria radiale.

[Gost91]

Perdonate la mia abissale ignoranza!!!

@And_And92

Credevo che avendo 2 equazioni con x^2 e y^2 si ottenessero 8 soluzioni, da considerare insieme a quella x=0,y=0.

Comunque i punti stazionari secondo Derive sono (non chiedetemi il perchè!!) e sono i punti:

(0,0), (0,1), (0,-1), (1,0), (-1,0) e queste due equazioni:

$x=sqrt(1-y^2)^^e^(x^2+y^2)!=0, x=-sqrt(1-y^2)^^e^(x^2+y^2)!=0

Nel sistema intendevo dire :

$\{((2x(1-x^2-y^2))=0),((2y(1-x^2-y^2))=0):}={(x=0),(y=0):} E {1-x^2-y^2=0:}$

Il simbolo $^^$ non è "e"?

Mi pare che le soluzioni del sistema siano x=0,y=0 E quelle di 1-x^2-y^2=0 (giusto il connettore logico???)

@Rigel

Per simmetria radiale intendi che è una funzione pari?

[And_And92]

Con il connettore logico $E$ fai l'intersezione delle soluzioni del sistema... cioè che i sitemi devono essere veri entrambi... con il $vv$ fai l'unione... cioè che entrambi i sistemi di equazioni sono soluzioni del sistema riportato... mmm... non è che derive t'ha detto solo i punti a coordinate intere? Rigel penso intenda dire che se intersechi la funzione data con un piano passante per l'asse $z$, ottieni sempre la stessa funzione... a una incognita che se non vado errato diventa $f(x)=x^2/(e^(x^2))$... ma potrei benissimo sbagliarmi... io mi fiderei più del ragionamento che di derive...ma potrei dire sciocchezze

[Gost91]

Ok, non mi ricordo nemmeno come funzionano i connettori logici (OLè :-D)

Comunque grazie per le dritte, io qui c'ho da studiare svariati anni ancora prima di riuscire a concludere qualcosa!

Ma riguardo i sistemi:

$\{((2x(1-x^2-y^2))=0),((2y(1-x^2-y^2))=0):}

$\{((2x(1-x^2-y^2))/(e^(x^2+y^2))=lambda2x),((2y(1-x^2-y^2))/(e^(x^2+y^2))=lambda2y),(x^2+y^2<=4):}$

Non avete nessun altro consiglio da darmi?

Forse mi merita un attimino prendere e studiare la situazione graficamente?