Massimi e minimo funzione due variabili
Salve,
ho da studiare i massimi e i minimi di
$f(x,y) = (x+y)^2 log[(x+y)^2]$
sul triangolo di vertici $(0,1), (0,2), (1,1)$, insieme $E$.
Io ho svolto così:
prima di tutto il dominio della funzione, è banalmente la tutto il piano tranne la retta $y = -x$, ma non mi da (come dire) problemi, in quanto tale retta è esterna all'insieme $E$.
penso poi di trovare i punti critici (i punti che annullano il gradiente), ma mi rendo conto che le due derivate parziali prime sono identiche (in particolare entrambe vengono pari a $2(x+y)[log(x+y)^2 + 1])$. In realtà in questo esercizio qui mi sono bloccato, in quanto mi viene fuori un sistema di due incognite ma con due equazioni linearmente dipendenti.
qualcuno potrebbe spiegarmi come comportarmi, in generale, quando succede questo fatto?
a questo punto, non riuscendo con il metodo classico, ho cercato una via alternativa. In particolare osservo che l'insieme $E$ sembra fatto in modo tale da usare più ragionamento che vero e proprio calcolo. Infatti, sostituendo, scopro che il valore minimo lo si ha per il punto $(0,1)$, uno dei vertici del triangolo, mentre addirittura tutta l'ipotenusa, ossia la retta $y = -x+2$ sono punti di massimo. Infatti sostituendo la retta nella funzione di due variabili, si ha che $f(x) = (x-x+2)^2 log[(x-x+2)^2]$ che è costantemente pari a $f(x) = 4log(4)$.
Potreste dirmi come muovermi col metodo classico e se il secondo metodo usato è giusto?
Purtroppo non ho le soluzioni
Grazie
ho da studiare i massimi e i minimi di
$f(x,y) = (x+y)^2 log[(x+y)^2]$
sul triangolo di vertici $(0,1), (0,2), (1,1)$, insieme $E$.
Io ho svolto così:
prima di tutto il dominio della funzione, è banalmente la tutto il piano tranne la retta $y = -x$, ma non mi da (come dire) problemi, in quanto tale retta è esterna all'insieme $E$.
penso poi di trovare i punti critici (i punti che annullano il gradiente), ma mi rendo conto che le due derivate parziali prime sono identiche (in particolare entrambe vengono pari a $2(x+y)[log(x+y)^2 + 1])$. In realtà in questo esercizio qui mi sono bloccato, in quanto mi viene fuori un sistema di due incognite ma con due equazioni linearmente dipendenti.
qualcuno potrebbe spiegarmi come comportarmi, in generale, quando succede questo fatto?
a questo punto, non riuscendo con il metodo classico, ho cercato una via alternativa. In particolare osservo che l'insieme $E$ sembra fatto in modo tale da usare più ragionamento che vero e proprio calcolo. Infatti, sostituendo, scopro che il valore minimo lo si ha per il punto $(0,1)$, uno dei vertici del triangolo, mentre addirittura tutta l'ipotenusa, ossia la retta $y = -x+2$ sono punti di massimo. Infatti sostituendo la retta nella funzione di due variabili, si ha che $f(x) = (x-x+2)^2 log[(x-x+2)^2]$ che è costantemente pari a $f(x) = 4log(4)$.
Potreste dirmi come muovermi col metodo classico e se il secondo metodo usato è giusto?
Purtroppo non ho le soluzioni
Grazie
Risposte
Le derivate parziali non sono funzioni lineare, non ha nessun senso parlare si indipendenza lineare, quel sistema che hai ottenuto è un sistema come qualsiasi altro...guardalo bene, in quali punti si annulla il gradiebte? Dove stanno questi punti?
Inoltre devi fare prima un ragionanento di esistenza, hai una funzione e vuoi trovarne gli estremi in un dominio...come è questo dominio? Come è la funzione in questo dominio? Esistono i massimi e minimi in questo dominio? In base a quale teorema?
Inoltre devi fare prima un ragionanento di esistenza, hai una funzione e vuoi trovarne gli estremi in un dominio...come è questo dominio? Come è la funzione in questo dominio? Esistono i massimi e minimi in questo dominio? In base a quale teorema?
Potresti anche porre $t:=x+y$, studi i massimi e minimi di $h(t):=2t^2logt$ al variare di $t$ in $I=[1,2]$ (intervallo in cui la retta $y=t-x$ interseca il triangolo in qualche punto)
$h(t)$ crescente in $I$,quindi minimo $m=0$ e massimo $M=4log4$
Anche se usi il "ragionamento",devi comunque motivare quel che dici
$h(t)$ crescente in $I$,quindi minimo $m=0$ e massimo $M=4log4$
Anche se usi il "ragionamento",devi comunque motivare quel che dici
Grazie per le risposta.
Vulplasir.. se le 2 equazioni del sistema sono uguali come trovo i punti stazionari? Così da poter fare l Hessiana? Forse si annulla in $y=-x$, ma non sono punti dem dominio e si annulla pure in $log(x+y)^2=-1$ ossia in $(x+y)^2 =e^-1$?! Giusto fin qui?
Comunque ovvio che esistono max e minimi per weiestrass poiché funzione continua su un compatto.
Potreste spiegare meglio? Ho ancora dubbio..
Vulplasir.. se le 2 equazioni del sistema sono uguali come trovo i punti stazionari? Così da poter fare l Hessiana? Forse si annulla in $y=-x$, ma non sono punti dem dominio e si annulla pure in $log(x+y)^2=-1$ ossia in $(x+y)^2 =e^-1$?! Giusto fin qui?
Comunque ovvio che esistono max e minimi per weiestrass poiché funzione continua su un compatto.
Potreste spiegare meglio? Ho ancora dubbio..
Ma che t'importa dell'hessiana, devi trovare i massimi e minimi assoluti. Non ha nessuna importanzw che le due equazioni del sistema siano uguali...anzi meglio...significa che te ne basta risolvere solo una per sapere dove si annulla il gradiente...nel tuo caso si annulla in $x+y=0$ e in $(x+y)^2=1/e$...quindi...
Non riesco ancora a capire bene.
Potresti spiegarmi bene? Perchè non dovrei usare l'Hessiana?
Potresti spiegarmi bene? Perchè non dovrei usare l'Hessiana?
Perché l'hessiana ti dice se il punto è un massimo o minimo relativo oppure un punto di sella, ma questo non ha nessuna importanza perché tu cerchi gli estremi assoluti, una volta trovati i punti in cui si annulla il gradiente basta valutare la funzione in questi punti e vedere qual è il valore piú grande e piú piccolo, che sia un punto di sella oppure un minimo relativo o massimo non importa.
Nel tuo caso il gradiente si annulla in $(x+y)^2=1/e$, sostituisci questo valore e vedi quanto vale la funzione...poi vedi quanto vale la funzione sulla frontiera e prendi il massimo e minimo valore (prima peró verifica che $(x+y)^2=1/e$ si trovi dentro il tuo dominio)
Nel tuo caso il gradiente si annulla in $(x+y)^2=1/e$, sostituisci questo valore e vedi quanto vale la funzione...poi vedi quanto vale la funzione sulla frontiera e prendi il massimo e minimo valore (prima peró verifica che $(x+y)^2=1/e$ si trovi dentro il tuo dominio)
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