Massimi e minimi vincolati triangolo
Ciao a tutti!
Ho ancora una domanda su un problema riguardante i massimi ed i minimi. Il valore del massimo è giusto.. quello del minimo no
Testo:
Si consideri la funzione $g(x,y)=((x+3)^2+(y-3)^2)^(1/2)$ ed il dominio T dato dal triangolo di vertici $A=(0,3),B=(3,0),C=(-3,0)$ Determinare il minimo m ed il massimo M di g su T ed i punti in cui sono assunti.
Mia soluzione:
Avendo un triangolo dovrò andare a studiare i punti vincolati lungo il bordo del triangolo, quindi sulle rette che congiungono i punti AB,CB,AC.
Parto dalla prima retta AB che avrà equazione $y=3-x$. Faccio quindi una sostituzione $g(r(t))$ che sarà uguale a:
$f(t,3-t)=((t+3)^2+t^2)^(1/2)$ con $t in [0,3]$.
Adesso vado a sostituire in $g(r(t))$ il valore $t=0$ ed ottengo $3$.. e poi sostituisco il valore $t=3$ ed ottengo $3(5)^(1/2)$ quindi posso concludere
minimo vale $3$ in $(0,3)$
massimo vale $3(5)^(1/2)$ in $(3,0)$
Ho applicato lo stesso metodo sugli altri due segmenti con le opportune sostituzioni
1) $f(t,3+t)=((t+3)^2+t^2)^(1/2)$ con $t in [-3,0]$.
2) $f(t,0)=((t+3)^2+9)^(1/2)$ con $t in [-3,3]$.
Ma il risultato non coincide.
Grazie mille in anticipo
Ciaoo
Ho ancora una domanda su un problema riguardante i massimi ed i minimi. Il valore del massimo è giusto.. quello del minimo no
Testo:
Si consideri la funzione $g(x,y)=((x+3)^2+(y-3)^2)^(1/2)$ ed il dominio T dato dal triangolo di vertici $A=(0,3),B=(3,0),C=(-3,0)$ Determinare il minimo m ed il massimo M di g su T ed i punti in cui sono assunti.
Mia soluzione:
Avendo un triangolo dovrò andare a studiare i punti vincolati lungo il bordo del triangolo, quindi sulle rette che congiungono i punti AB,CB,AC.
Parto dalla prima retta AB che avrà equazione $y=3-x$. Faccio quindi una sostituzione $g(r(t))$ che sarà uguale a:
$f(t,3-t)=((t+3)^2+t^2)^(1/2)$ con $t in [0,3]$.
Adesso vado a sostituire in $g(r(t))$ il valore $t=0$ ed ottengo $3$.. e poi sostituisco il valore $t=3$ ed ottengo $3(5)^(1/2)$ quindi posso concludere
minimo vale $3$ in $(0,3)$
massimo vale $3(5)^(1/2)$ in $(3,0)$
Ho applicato lo stesso metodo sugli altri due segmenti con le opportune sostituzioni
1) $f(t,3+t)=((t+3)^2+t^2)^(1/2)$ con $t in [-3,0]$.
2) $f(t,0)=((t+3)^2+9)^(1/2)$ con $t in [-3,3]$.
Ma il risultato non coincide.
Grazie mille in anticipo
Ciaoo
Risposte
Per prima cosa: se il dominio è tutto il triangolo (cioè compreso l'interno) l'esercizio va separato in due parti:
1) ricerca del massimo e minimo all'interno (se eventualmente ce ne sono) usando il classico metodo dei punti stazionari e dell'Hessiana;
2) ricerca degli estremi usando la parametrizzazione.
Ora, le rette sono
$AB:\ y=3-x$, $BC:\ y=0$, $AC:\ y=x+3$
per cui le parametrizzazioni sembrano corrette.
A questo punto, per determinare massimi e minimi devi studiare i comportamenti delle tre funzioni ottenute sui segmenti e verificare cosa accade (sinceramente, cosa tu ottenga sostituendo $t=0$ e perché tu lo faccia mi sembra una pratica molto campata in aria!).
1) ricerca del massimo e minimo all'interno (se eventualmente ce ne sono) usando il classico metodo dei punti stazionari e dell'Hessiana;
2) ricerca degli estremi usando la parametrizzazione.
Ora, le rette sono
$AB:\ y=3-x$, $BC:\ y=0$, $AC:\ y=x+3$
per cui le parametrizzazioni sembrano corrette.
A questo punto, per determinare massimi e minimi devi studiare i comportamenti delle tre funzioni ottenute sui segmenti e verificare cosa accade (sinceramente, cosa tu ottenga sostituendo $t=0$ e perché tu lo faccia mi sembra una pratica molto campata in aria!).
Ciao!
Avevo sbagliato a studiare i massimi ed i minimi delle due rette.. in effetti la sostituzione con t è sbagliata adesso ho trovato tutti i punti giusti.
Solo una domanda.. per il punto 1 io ho calcolato le derivate parziali rispetto ad x e y, solo che si annullano in un punto che non appartiene al mio dominio T.. $(-3,3)$. Quindi non appartenendo al dominio posso dire che non esistono punti di massimo o minimo interni?
Se invece il punto apparteneva al dominio allora andavo a classificarlo e poi passavo alla ricerca lungo il bordo, giusto?
Grazie ancora!
Ciaoo
Avevo sbagliato a studiare i massimi ed i minimi delle due rette.. in effetti la sostituzione con t è sbagliata
adesso ho trovato tutti i punti giusti.Solo una domanda.. per il punto 1 io ho calcolato le derivate parziali rispetto ad x e y, solo che si annullano in un punto che non appartiene al mio dominio T.. $(-3,3)$. Quindi non appartenendo al dominio posso dire che non esistono punti di massimo o minimo interni?
Se invece il punto apparteneva al dominio allora andavo a classificarlo e poi passavo alla ricerca lungo il bordo, giusto?
Grazie ancora!
Ciaoo
"floppyes":
Ciao!
Avevo sbagliato a studiare i massimi ed i minimi delle due rette.. in effetti la sostituzione con t è sbagliata
Solo una domanda.. per il punto 1 io ho calcolato le derivate parziali rispetto ad x e y, solo che si annullano in un punto che non appartiene al mio dominio T.. $(-3,3)$. Quindi non appartenendo al dominio posso dire che non esistono punti di massimo o minimo interni?
Se invece il punto apparteneva al dominio allora andavo a classificarlo e poi passavo alla ricerca lungo il bordo, giusto?
Grazie ancora!
Ciaoo
Esatto.
Ciao!
Un solo dubbio.. Per la retta $y=0$ ottengo $f(x,0)=(x^2+6x+18)^(1/2)$
Studio i massimi ed i minimi:
$f'(x,0)=(x+3)/(x^2+6x+18)^(1/2)$
Quindi
$f'(x,0)>=0$ da cui ottengo un minimo in $(3,0)$ che vale $3$ (trovato facendo la sostituzione $f(3,0)$
Questo è il procedimento che deve essere applicato anche sulle altre due rette giusto?
Grazie
Ciao
Un solo dubbio.. Per la retta $y=0$ ottengo $f(x,0)=(x^2+6x+18)^(1/2)$
Studio i massimi ed i minimi:
$f'(x,0)=(x+3)/(x^2+6x+18)^(1/2)$
Quindi
$f'(x,0)>=0$ da cui ottengo un minimo in $(3,0)$ che vale $3$ (trovato facendo la sostituzione $f(3,0)$
Questo è il procedimento che deve essere applicato anche sulle altre due rette giusto?
Grazie
Ciao
Per prima cosa, puoi semplificarti un po' la vita: infatti se hai una funzione $f(x)=\sqrt{g(x)}$ essendo $f'(x)=\frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}$ al fine di studiare la monotonia basta vedere come si comporta la funzione sotto radice $g(x)$. Ora si ha
Lato $AB$: $f_1(x)=\sqrt{(x+3)^2+x^2}=\sqrt{2x^2+6x+9}$ per cui $g(x)=2x^2+6x+9$ e $g'(x)=4x+6\ge 0$ se $x\ge -3/2$. Dal momento che sul lato $AB$ si ha $x\in[0,3]$ la funzione risulta sempre crescente e quindi si ha minimo in $A$ e massimo in $B$.
Lato $BC$: $f_2(x)=\sqrt{(x+3)^2+9}=\sqrt{x^2+6x+18}$ per cui $g(x)=x^2+6x+18$ e $g'(x)=2x+6\ge 0$ se $x\ge -3$. Dal momento che sul lato $AB$ si ha $x\in[-3,3]$ la funzione risulta sempre decrescente (questo perché devi percorrerla al contrario, cioè da destra verso sinistra) e quindi si ha massimo in $B$ e minimo in $C$.
Lato $CA$: $f_3(x)=f_1(x)=\sqrt{(x+3)^2+x^2}=\sqrt{2x^2+6x+9}$ per cui $g(x)=2x^2+6x+9$ e $g'(x)=4x+6\ge 0$ se $x\ge -3/2$. Dal momento che sul lato $CA$ si ha $x\in[-3,0]$ la funzione risulta
--crescente su $(-3/2,0)$
--decrescente su $(-3,-3/2)$
e quindi si ha massimo in $C$, minimo in $x=-3/2$ e massimo in $A$
Ora bisogna analizzare nel complesso cosa accade:
Partendo da $A$ la funzione cresce fino a $B$ sul primo tratto, poi decresce fino a $C$ sul secondo tratto, poi continua a decrescere fino a $x=-3/2$ e infine cresce fino ad $A$ sul terzo tratto.
Ne segue che si ha un massimo in $B$ e un minimo in $x=-3/2$, in quanto in $A$ e $C$, proveniendo dai due lati, la funzione mantiene sempre la stessa monotonia (e quindi non ci sono punti estremali).
Lato $AB$: $f_1(x)=\sqrt{(x+3)^2+x^2}=\sqrt{2x^2+6x+9}$ per cui $g(x)=2x^2+6x+9$ e $g'(x)=4x+6\ge 0$ se $x\ge -3/2$. Dal momento che sul lato $AB$ si ha $x\in[0,3]$ la funzione risulta sempre crescente e quindi si ha minimo in $A$ e massimo in $B$.
Lato $BC$: $f_2(x)=\sqrt{(x+3)^2+9}=\sqrt{x^2+6x+18}$ per cui $g(x)=x^2+6x+18$ e $g'(x)=2x+6\ge 0$ se $x\ge -3$. Dal momento che sul lato $AB$ si ha $x\in[-3,3]$ la funzione risulta sempre decrescente (questo perché devi percorrerla al contrario, cioè da destra verso sinistra) e quindi si ha massimo in $B$ e minimo in $C$.
Lato $CA$: $f_3(x)=f_1(x)=\sqrt{(x+3)^2+x^2}=\sqrt{2x^2+6x+9}$ per cui $g(x)=2x^2+6x+9$ e $g'(x)=4x+6\ge 0$ se $x\ge -3/2$. Dal momento che sul lato $CA$ si ha $x\in[-3,0]$ la funzione risulta
--crescente su $(-3/2,0)$
--decrescente su $(-3,-3/2)$
e quindi si ha massimo in $C$, minimo in $x=-3/2$ e massimo in $A$
Ora bisogna analizzare nel complesso cosa accade:
Partendo da $A$ la funzione cresce fino a $B$ sul primo tratto, poi decresce fino a $C$ sul secondo tratto, poi continua a decrescere fino a $x=-3/2$ e infine cresce fino ad $A$ sul terzo tratto.
Ne segue che si ha un massimo in $B$ e un minimo in $x=-3/2$, in quanto in $A$ e $C$, proveniendo dai due lati, la funzione mantiene sempre la stessa monotonia (e quindi non ci sono punti estremali).
Ciao!
Grazie mille ottima risposta come sempre.
Il massimo in B vale $45^(1/2)$ perchè devo sostituire il valore $(3,0)$ nella funzione $g(x)=x^2+6x+18$ giusto?
Grazie mille
Ciao!
Grazie mille ottima risposta come sempre.
Il massimo in B vale $45^(1/2)$ perchè devo sostituire il valore $(3,0)$ nella funzione $g(x)=x^2+6x+18$ giusto?
Grazie mille
Ciao!
Sì. Prego.
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