Massimi e minimi vincolati [moltiplicatori di lagrange]
Salve ragazzi,
Sono alle prese con questo esercizio da circa un'ora e non riesco a venirne a capo. Chiedo gentilmente la vostra consulenza!
.
Ho la funzione:
\(\displaystyle f(x,y)= \frac{x}{1+x^2+y^2} \) sul vincolo \(\displaystyle g(x,y)= 2x^2+y^2-2 \)
Utilizzo i “moltiplicatori di Lagrange” dato che:
\(\displaystyle \triangledown g(x_{0},y_{0})=(0,0)\) per \(\displaystyle P(0,0) \)
Costruisco la funzione lagrangiana e ottengo il seguente sistema:
\[\left\{\begin{matrix} \frac{1-x^2+y^2}{(1+x^2+y^2)^2}+4\lambda x=0 \\ \frac{-2xy}{(1+x^2+y^2)^2}+2\lambda y=0 \\ 2x^2+y^2-2=0 \end{matrix}\right.\]
Ecco, la difficoltà risiede nel sistema.. Ho provato vari “trucchetti” ma non riesco a risolverlo. Ringrazio chiunque mi illumini la giornata
Sono alle prese con questo esercizio da circa un'ora e non riesco a venirne a capo. Chiedo gentilmente la vostra consulenza!
.Ho la funzione:
\(\displaystyle f(x,y)= \frac{x}{1+x^2+y^2} \) sul vincolo \(\displaystyle g(x,y)= 2x^2+y^2-2 \)
Utilizzo i “moltiplicatori di Lagrange” dato che:
\(\displaystyle \triangledown g(x_{0},y_{0})=(0,0)\) per \(\displaystyle P(0,0) \)
Costruisco la funzione lagrangiana e ottengo il seguente sistema:
\[\left\{\begin{matrix} \frac{1-x^2+y^2}{(1+x^2+y^2)^2}+4\lambda x=0 \\ \frac{-2xy}{(1+x^2+y^2)^2}+2\lambda y=0 \\ 2x^2+y^2-2=0 \end{matrix}\right.\]
Ecco, la difficoltà risiede nel sistema.. Ho provato vari “trucchetti” ma non riesco a risolverlo. Ringrazio chiunque mi illumini la giornata
Risposte
Rispondo "a occhio"
Mi pare che dalla seconda equazione ricavi o $y=0$ oppure un'espressione per $\lambda$. Se $y=0$ la terza equazione ti dà $x$.
Se $y\ne0$ metti il valore di $\lambda$ appena trovato nella prima equazione e usi la relazione $y^2=2-2x^2$ (ricavabile dalla terza).
Così facendo dovresti trovare un'equazione di secondo grado in $x$ ...
Mi pare che dalla seconda equazione ricavi o $y=0$ oppure un'espressione per $\lambda$. Se $y=0$ la terza equazione ti dà $x$.
Se $y\ne0$ metti il valore di $\lambda$ appena trovato nella prima equazione e usi la relazione $y^2=2-2x^2$ (ricavabile dalla terza).
Così facendo dovresti trovare un'equazione di secondo grado in $x$ ...
Ciao ,
Innanzitutto, grazie per la risposta. Saresti cosi gentile da mostrarmi "i primi passi" per ricavare almeno \(\displaystyle y=0 \) ? Quel \(\displaystyle (1+x^2+y^2)^2 \) al denom. non riesco a gestirlo
,Innanzitutto, grazie per la risposta. Saresti cosi gentile da mostrarmi "i primi passi" per ricavare almeno \(\displaystyle y=0 \) ? Quel \(\displaystyle (1+x^2+y^2)^2 \) al denom. non riesco a gestirlo
Basta mettere \(y\) in evidenza... Matematica da seconda liceo, eh. 
P.S.: Hey VG! How are you? Ogni tanto ti si rilegge con piacere.
P.S.: Hey VG! How are you? Ogni tanto ti si rilegge con piacere.
"gugo82":
Basta mettere \(y\) in evidenza...
Intendi in questo modo? :
\[y\left ( \frac{-2x}{(1+x^2+y^2)^2}+2\lambda \right ) =0\]
In caso di risposta affermativa, avevo già seguito questa strada e, dunque, sono giunto a \[\lambda=\frac{x}{(1+x^2)^2}\]
Poi mi sono perso nei conti... Quindi ti chiedo, è corretto fin qui?
Calma...
Da qui:
\[
y\ \left ( \frac{-2x}{(1+x^2+y^2)^2}+2\lambda \right ) =0
\]
segue (per la legge di annullamento del prodotto) che:
\[
y=0 \qquad \text{oppure} \qquad \lambda = \frac{x}{(1+x^2+y^2)^2}\; .
\]
Ora distingui due casi:
Da qui:
\[
y\ \left ( \frac{-2x}{(1+x^2+y^2)^2}+2\lambda \right ) =0
\]
segue (per la legge di annullamento del prodotto) che:
\[
y=0 \qquad \text{oppure} \qquad \lambda = \frac{x}{(1+x^2+y^2)^2}\; .
\]
Ora distingui due casi:
- [*:1ou2vukg] se \(y=0\), allora dalla equazione del vincolo ricavi \(x=\pm 1\) e dalla prima equazione ricavi \(\lambda=0\); perciò i punti \((x,y,\lambda) = (\pm 1,0,0)\) sono stazionari per la lagrangiana;
[/*:m:1ou2vukg]
[*:1ou2vukg] se invece \(\lambda = \frac{x}{(1+x^2+y^2)^2}\), sostituendo tale espressione di \(\lambda\) nella prima equazione trovi:
\[
\frac{1-x^2+y^2}{(1+x^2+y^2)^2}+\frac{4x^2}{(1+x^2+y^2)^2}=0 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{1+3x^2+y^2}{(1+x^2+y^2)^2} =0
\]
e, dato che il denominatore non si annulla, ciò equivale a richiedere che:
\[
1+3x^2+y^2=0\; ,
\]
che è impossibile (perché la somma di tre addendi \(\geq 0\) da zero solo se tutti e tre gli addendi sono nulli, ma \(1\neq 0\), quindi...); dunque a questa seconda eventualità non corrispondono punti stazionari per la lagrangiana.[/*:m:1ou2vukg][/list:u:1ou2vukg]
Ecco! In predecenza, avevo risolto esattamente come mi hai mostrato (grazie mille ), ma giunto a \(\displaystyle 1+3x^2+y^2=0 \) e visto che \(\displaystyle 1\neq 0 \), pensavo d'aver sbagliato qualche passaggio e NON che potevo tranquillamente "ignorare" la "seconda eventualità".
P.S
E sono anche sbadato, perchè prima intendevo \(\displaystyle \lambda = \frac{x}{(1+x^2+y^2)^2} \) ... La stanchezza mi gioca brutti scherzi..
), ma giunto a \(\displaystyle 1+3x^2+y^2=0 \) e visto che \(\displaystyle 1\neq 0 \), pensavo d'aver sbagliato qualche passaggio e NON che potevo tranquillamente "ignorare" la "seconda eventualità". P.S
E sono anche sbadato, perchè prima intendevo \(\displaystyle \lambda = \frac{x}{(1+x^2+y^2)^2} \) ... La stanchezza mi gioca brutti scherzi..
"gugo82":
P.S.: Hey VG! How are you? Ogni tanto ti si rilegge con piacere.
Ciao "moderatore universale" - nice to hear from you. Purtroppo vari impegni personali mi hanno allontanato dal forum.
In questi giorni comunque mi è tornata un po' di voglia di contribuire...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo