Massimi e minimi vincolati in 3 variabili
Salve a tutti,
mi sto cimentando con un esercizio di massimi e di minimi vincolati, ma non sto riuscendo a venirne a capo.
L'esercizio chiede che, data
$f(x,y,z)=xyz$, vincolata a $x^2+2y^2+3z^2=6$, occorre appunto determinare i massimi e i minimi.
Prima di iniziare, vorrei chiedervi: si può applicare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange? Io l'ho iniziato, ho determinato la Lagrangiana, ho impostato il sistema in 4 equazioni ma onestamente non sono riuscito ad andare avanti.
Poi ho pensato di andare comunque a calcolare il gradiente dell $f$ e di vedere dove si annulla:
$gradf=(yz,xz,xy)=0$
il che porta al sistema
[tex]\begin{cases}
yz = 0 \\
xz = 0 \\
xy = 0
\end{cases}[/tex]
Ora, mi pare che questo sistema sia valido in tre casi, e cioè:
-quella del generico punto $P(x,0,0)$;
-quella del generico punto $Q(0,y,0)$;
-quella del generico punto $R(0,0,z)$.
Andando a sostituire uno alla volta questi punti nel mio vincolo ottengo rispettivamente:
$x^2=6$, quindi $x=pmsqrt(6)$, che mi porta ai punti $P1(-sqrt(6),0,0)$ e $P2(sqrt6,0,0)$
$y^2=3$, quindi $y=pmsqrt(3)$, che mi porta ai punti $Q1(0,-sqrt(3),0)$ e $Q2(0,sqrt3,0)$
$z^2=2$, quindi $z=pmsqrt(2)$, che mi porta ai punti $R1(0,0,-sqrt(2))$ e $R2(0,0,sqrt2)$
Se ho fatto bene fin qui, sono poi andato a determinare l'Hessiano della matrice 3x3 associata, che presenta determinante pari a $2xyz$ (mi scuso, ma non so scrivere le matrici in Latex): ad ogni modo, ovviamente, per ognuno dei 6 punti candidati estremanti ottengo il caso dell'Hessiano nullo.
Qui mi sono bloccato e non saprei come andare avanti (avevo ipotizzato di considerare un generico fascio di piani paralleli, però non saprei).
Grazie a chi vorrà aiutarmi
mi sto cimentando con un esercizio di massimi e di minimi vincolati, ma non sto riuscendo a venirne a capo.
L'esercizio chiede che, data
$f(x,y,z)=xyz$, vincolata a $x^2+2y^2+3z^2=6$, occorre appunto determinare i massimi e i minimi.
Prima di iniziare, vorrei chiedervi: si può applicare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange? Io l'ho iniziato, ho determinato la Lagrangiana, ho impostato il sistema in 4 equazioni ma onestamente non sono riuscito ad andare avanti.
Poi ho pensato di andare comunque a calcolare il gradiente dell $f$ e di vedere dove si annulla:
$gradf=(yz,xz,xy)=0$
il che porta al sistema
[tex]\begin{cases}
yz = 0 \\
xz = 0 \\
xy = 0
\end{cases}[/tex]
Ora, mi pare che questo sistema sia valido in tre casi, e cioè:
-quella del generico punto $P(x,0,0)$;
-quella del generico punto $Q(0,y,0)$;
-quella del generico punto $R(0,0,z)$.
Andando a sostituire uno alla volta questi punti nel mio vincolo ottengo rispettivamente:
$x^2=6$, quindi $x=pmsqrt(6)$, che mi porta ai punti $P1(-sqrt(6),0,0)$ e $P2(sqrt6,0,0)$
$y^2=3$, quindi $y=pmsqrt(3)$, che mi porta ai punti $Q1(0,-sqrt(3),0)$ e $Q2(0,sqrt3,0)$
$z^2=2$, quindi $z=pmsqrt(2)$, che mi porta ai punti $R1(0,0,-sqrt(2))$ e $R2(0,0,sqrt2)$
Se ho fatto bene fin qui, sono poi andato a determinare l'Hessiano della matrice 3x3 associata, che presenta determinante pari a $2xyz$ (mi scuso, ma non so scrivere le matrici in Latex): ad ogni modo, ovviamente, per ognuno dei 6 punti candidati estremanti ottengo il caso dell'Hessiano nullo.
Qui mi sono bloccato e non saprei come andare avanti (avevo ipotizzato di considerare un generico fascio di piani paralleli, però non saprei).
Grazie a chi vorrà aiutarmi

Risposte
Ciao!
non hai pensato alla parametrizzazione del vincolo?
In genere se riesci a parametrizzare vincolo il problema diventa più semplice. I passaggi che hai fatto non sono scorretti, però non ti danno informazioni su come tirar fuori informazioni qualitative su quei punti
non hai pensato alla parametrizzazione del vincolo?
In genere se riesci a parametrizzare vincolo il problema diventa più semplice. I passaggi che hai fatto non sono scorretti, però non ti danno informazioni su come tirar fuori informazioni qualitative su quei punti
@arnett
Allora, ho impostato il sistema (gradiente nullo della funzione lagrangiana più equazione del vincolo):
[tex]\begin{cases}
yz=2x\lambda \\
xz=4y\lambda \\
xy=6z\lambda\\
x^2+2y^2+3z^2=6
\end{cases}[/tex]
@arnett, mi stai dicendo di considerare questo sistema per ognuno dei tre casi (i tre punti generici con due variabili nulle e una non nulla)? Ad esempio, per il punto generico $P(x,0,0)$, la prima equazione del sistema diverrebbe:
$lambda=(yz)/(2x)$?
Poiché $y=z=0$ allora vale $lambda=0$ ? E così naturalmente anche per gli altri casi (a turno con $yne0$ e $zne0$).
Mi pare di essere in un vicolo cieco
[tex]\begin{cases}
yz=2x\lambda \\
xz=4y\lambda \\
xy=6z\lambda\\
x^2+2y^2+3z^2=6
\end{cases}[/tex]
@arnett, mi stai dicendo di considerare questo sistema per ognuno dei tre casi (i tre punti generici con due variabili nulle e una non nulla)? Ad esempio, per il punto generico $P(x,0,0)$, la prima equazione del sistema diverrebbe:
$lambda=(yz)/(2x)$?
Poiché $y=z=0$ allora vale $lambda=0$ ? E così naturalmente anche per gli altri casi (a turno con $yne0$ e $zne0$).
Mi pare di essere in un vicolo cieco

Grazie arnett, a volte dimentico che la matematica è fatta anche di "manipolazioni", non ci sarei mai arrivato

Dal sistema ho ricavato $lambda$ e una volta sostituito si ottengono le relazioni $x^2=2y^2$ e $x^2=3z^2$.
Sostituendo nel vincolo di ottengono 8 punti del tipo ( $ (+- sqrt(2), +-1, +-sqrt(2/3)) $.
Sostituendo nella funzione si ottiene $+-2/sqrt(3)$.
4 punti sono di minimo e 4 di massimo.
Sostituendo nel vincolo di ottengono 8 punti del tipo ( $ (+- sqrt(2), +-1, +-sqrt(2/3)) $.
Sostituendo nella funzione si ottiene $+-2/sqrt(3)$.
4 punti sono di minimo e 4 di massimo.