Massimi e minimi vincolati in 3 variabili

eugeniocotardo
Salve a tutti,
mi sto cimentando con un esercizio di massimi e di minimi vincolati, ma non sto riuscendo a venirne a capo.
L'esercizio chiede che, data
$f(x,y,z)=xyz$, vincolata a $x^2+2y^2+3z^2=6$, occorre appunto determinare i massimi e i minimi.

Prima di iniziare, vorrei chiedervi: si può applicare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange? Io l'ho iniziato, ho determinato la Lagrangiana, ho impostato il sistema in 4 equazioni ma onestamente non sono riuscito ad andare avanti.

Poi ho pensato di andare comunque a calcolare il gradiente dell $f$ e di vedere dove si annulla:
$gradf=(yz,xz,xy)=0$

il che porta al sistema

[tex]\begin{cases}
yz = 0 \\
xz = 0 \\
xy = 0
\end{cases}[/tex]

Ora, mi pare che questo sistema sia valido in tre casi, e cioè:
-quella del generico punto $P(x,0,0)$;
-quella del generico punto $Q(0,y,0)$;
-quella del generico punto $R(0,0,z)$.

Andando a sostituire uno alla volta questi punti nel mio vincolo ottengo rispettivamente:
$x^2=6$, quindi $x=pmsqrt(6)$, che mi porta ai punti $P1(-sqrt(6),0,0)$ e $P2(sqrt6,0,0)$
$y^2=3$, quindi $y=pmsqrt(3)$, che mi porta ai punti $Q1(0,-sqrt(3),0)$ e $Q2(0,sqrt3,0)$
$z^2=2$, quindi $z=pmsqrt(2)$, che mi porta ai punti $R1(0,0,-sqrt(2))$ e $R2(0,0,sqrt2)$

Se ho fatto bene fin qui, sono poi andato a determinare l'Hessiano della matrice 3x3 associata, che presenta determinante pari a $2xyz$ (mi scuso, ma non so scrivere le matrici in Latex): ad ogni modo, ovviamente, per ognuno dei 6 punti candidati estremanti ottengo il caso dell'Hessiano nullo.
Qui mi sono bloccato e non saprei come andare avanti (avevo ipotizzato di considerare un generico fascio di piani paralleli, però non saprei).
Grazie a chi vorrà aiutarmi :)

Risposte
anto_zoolander
Ciao!

non hai pensato alla parametrizzazione del vincolo?
In genere se riesci a parametrizzare vincolo il problema diventa più semplice. I passaggi che hai fatto non sono scorretti, però non ti danno informazioni su come tirar fuori informazioni qualitative su quei punti

anto_zoolander
@arnett

eugeniocotardo
Allora, ho impostato il sistema (gradiente nullo della funzione lagrangiana più equazione del vincolo):

[tex]\begin{cases}
yz=2x\lambda \\
xz=4y\lambda \\
xy=6z\lambda\\
x^2+2y^2+3z^2=6
\end{cases}[/tex]

@arnett, mi stai dicendo di considerare questo sistema per ognuno dei tre casi (i tre punti generici con due variabili nulle e una non nulla)? Ad esempio, per il punto generico $P(x,0,0)$, la prima equazione del sistema diverrebbe:

$lambda=(yz)/(2x)$?
Poiché $y=z=0$ allora vale $lambda=0$ ? E così naturalmente anche per gli altri casi (a turno con $yne0$ e $zne0$).
Mi pare di essere in un vicolo cieco :-D

eugeniocotardo
Grazie arnett, a volte dimentico che la matematica è fatta anche di "manipolazioni", non ci sarei mai arrivato :)

Bokonon
Dal sistema ho ricavato $lambda$ e una volta sostituito si ottengono le relazioni $x^2=2y^2$ e $x^2=3z^2$.
Sostituendo nel vincolo di ottengono 8 punti del tipo ( $ (+- sqrt(2), +-1, +-sqrt(2/3)) $.
Sostituendo nella funzione si ottiene $+-2/sqrt(3)$.
4 punti sono di minimo e 4 di massimo.

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