Massimi e minimi vincolati f a due variabili
Salve, mi trovo davanti ad un esercizio di ricerca di massimi e minimi di una funzione a due variabili con il caso di estremi vincolati.
La funzione in questione è la seguente:
$ f(x,y) = x^2 -y^2 +3xy + 2y $
Ho calcolato le derivate parziali e l'hessiano, ho visto dove si annullano e l'unico punto in cui si annullano è
$P = (-6/13, 4/13) $ ed essendo in tale punto $H < 0 $ e $(d^2f)/dx > 0$ posso affermare che $P$ non è nè di massimo relativo nè di minimo relativo per $f(x,y)$
Adesso devo calcolare gli estremi vincolati a tale limitazione: $ T = {(x,y) R^2 : y > x^2, x > y^2 }$
Adesso la strada giusta da affrontare qual'è? Non conoscendo (so che sono due parabole) geometricamente la vera porzione di limitazione come proseguo analiticamente?
Ho provato ad utilizzare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, ma il sistema dove le derivate prime si annullano non è proprio semplice da svolgere e non so nemmeno se porta a risultati sperati.
Ho provato comunque ad utilizzare il metodo di Lagrange e stavo cercando nella prima frontiera (dato che il punto stazionario prima trovato non era nè di massimo nè di minimo) con:
$f(x,y,lambda) = x^2 -y^2 + 3xy +2y + lambda(y-x^2)$
Facendo le tre derivate parziali trovo la prima soluzione immediata $PI=(0,0,0) $ mentre le altre scoperte con wolfram non sono così tanto immediate.
In ogni caso l'unica cosa da fare in questi caso è cercare in frontiera? Visto che comunque le derivate parziali della funzione sono sempre continue..
Grazie dell'aiuto, come sempre!
La funzione in questione è la seguente:
$ f(x,y) = x^2 -y^2 +3xy + 2y $
Ho calcolato le derivate parziali e l'hessiano, ho visto dove si annullano e l'unico punto in cui si annullano è
$P = (-6/13, 4/13) $ ed essendo in tale punto $H < 0 $ e $(d^2f)/dx > 0$ posso affermare che $P$ non è nè di massimo relativo nè di minimo relativo per $f(x,y)$
Adesso devo calcolare gli estremi vincolati a tale limitazione: $ T = {(x,y) R^2 : y > x^2, x > y^2 }$
Adesso la strada giusta da affrontare qual'è? Non conoscendo (so che sono due parabole) geometricamente la vera porzione di limitazione come proseguo analiticamente?
Ho provato ad utilizzare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, ma il sistema dove le derivate prime si annullano non è proprio semplice da svolgere e non so nemmeno se porta a risultati sperati.
Ho provato comunque ad utilizzare il metodo di Lagrange e stavo cercando nella prima frontiera (dato che il punto stazionario prima trovato non era nè di massimo nè di minimo) con:
$f(x,y,lambda) = x^2 -y^2 + 3xy +2y + lambda(y-x^2)$
Facendo le tre derivate parziali trovo la prima soluzione immediata $PI=(0,0,0) $ mentre le altre scoperte con wolfram non sono così tanto immediate.
In ogni caso l'unica cosa da fare in questi caso è cercare in frontiera? Visto che comunque le derivate parziali della funzione sono sempre continue..
Grazie dell'aiuto, come sempre!
Risposte
"damianoct90":
Adesso devo calcolare gli estremi vincolati a tale limitazione: $ T = {(x,y) R^2 : y > x^2, x > y^2 }$
Adesso la strada giusta da affrontare qual'è? Non conoscendo (so che sono due parabole) geometricamente la vera porzione di limitazione come proseguo analiticamente?
Non sono in grado di darti risposte, ma vorrei lo stesso ragionare con te (ti chiedo scusa se ti faccio perdere tempo).
Allora ho provato a disegnare la porzione di piano che ci interessa e mi è venuta una sorta di lunula compresa tra le due parabole i cui estremi sono il punto origine $O(0;0)$ e il punto $P(1;1)$. Da come hai scritto sembrerebbe che la frontiera sia esclusa, potrebbe essere $ T = {(x,y) R^2 : y >= x^2, x >= y^2 }$?
La frontiera è fatta da due tratti $y=x^2$ e $y=\sqrt x$ con $x=[0,1])$.
Prendendo il primo tratto esegui la sostituzione $y=x^2$ nella $f(x,y)$ e ottieni $f(x)= -x^4+3x^3+3x^2$.
Adesso cerchi il massimo in questa $f(x)$ tra 0 e 1.
Poi anche per l'altro tratto e poi stabilisci gli estremi.
Prendendo il primo tratto esegui la sostituzione $y=x^2$ nella $f(x,y)$ e ottieni $f(x)= -x^4+3x^3+3x^2$.
Adesso cerchi il massimo in questa $f(x)$ tra 0 e 1.
Poi anche per l'altro tratto e poi stabilisci gli estremi.
Ciao Q, anche io avevo pensato di procedere nello stesso modo. Mi turba però la disuguaglianza stretta: in effetti troviamo punti di massimo e minimo lungo la frontiera, ma da come ha scritto damiano quei punti non appartengono al dominio (d'accordo che lì vicino le cose non cambieranno sensibilmente, ma...), tu che ne pensi?
Errore mio di battitura, la disuguaglianza non è stretta, per il fatto che sia $ x = [0,1] $ basta mettere a sistema e verificare l'intervallo che soddisfa le due equazioni no?
"damianoct90":
Errore mio di battitura, la disuguaglianza non è stretta, per il fatto che sia $ x = [0,1] $ basta mettere a sistema e verificare l'intervallo che soddisfa le due equazioni no?
Non ho capito...
Ad ogni modo ho fatto un po' di conti, come suggerito da Q., e mi è venuto che la nostra funzione lungo entrambe le frontiere è crescente; di conseguenza concludo che il minimo lo trovo in corrispondenza dell'origine, dove la funzione vale $f(0;0)=0$, e il massimo lo trovo in corrispondenza di $P(1;1)$ dove la funzione vale $f(1;1)=+5$.
Mi fai vedere i tuoi conti riguardo il gradiente? Non mi trovo, ma magari sbaglio io.
Non ti trovi nel punto che annulla il gradiente? Usando l'Hessiano non è nè di massimo nè di minimo..
"damianoct90":
Non ti trovi nel punto che annulla il gradiente?
Esatto, mi fai vedere le tue derivate parziali?
"damianoct90":
Salve, mi trovo davanti ad un esercizio di ricerca di massimi e minimi di una funzione a due variabili con il caso di estremi vincolati.
La funzione in questione è la seguente:
$ f(x,y) = x^2 -y^2 +3xy + 2y $
Ho calcolato le derivate parziali e l'hessiano, ho visto dove si annullano e l'unico punto in cui si annullano è
$P = (-6/13, 4/13) $ ed essendo in tale punto $H < 0 $ e $(d^2f)/dx > 0$ posso affermare che $P$ non è nè di massimo relativo nè di minimo relativo per $f(x,y)$
Cosa sarebbe $P = (-6/13, 4/13) $ ?
Abbiamo il gradiente $\nabla f = (2x+3y, -2y+2)$, che si annulla in $P(x,y)=(-3/2,1)$, quindi siamo già fuori dal dominio. Non importa se poi è davvero un max/min.
Poi se sostituisco $x=y^2$ ottengo $f(x)=y^4+3y^3-y^2+2y$, derivo $f'(x)=4y^3+9y^2-2y+2$.
Ora ci chiediamo se $f'(x)=0$. Nell'origine di sicuro e poi per $0
Con $y=x^2$ ho $f(x)=-x^4+3x^3+3x^2$, e $f'(x)=-4x^3+9x^2+6x=x(-4x^2+9x+6)$.
Non c'è nessuna radice in $x\in(0,1]$ quindi i due estremi sono in $(0,0)$ e $(1,1)$.
"Quinzio":
[quote="damianoct90"]Salve, mi trovo davanti ad un esercizio di ricerca di massimi e minimi di una funzione a due variabili con il caso di estremi vincolati.
La funzione in questione è la seguente:
$ f(x,y) = x^2 -y^2 +3xy + 2y $
Ho calcolato le derivate parziali e l'hessiano, ho visto dove si annullano e l'unico punto in cui si annullano è
$P = (-6/13, 4/13) $ ed essendo in tale punto $H < 0 $ e $(d^2f)/dx > 0$ posso affermare che $P$ non è nè di massimo relativo nè di minimo relativo per $f(x,y)$
Cosa sarebbe $P = (-6/13, 4/13) $ ?
Abbiamo il gradiente $\nabla f = (2x+3y, -2y+2)$, che si annulla in $P(x,y)=(-3/2,1)$, quindi siamo già fuori dal dominio. Non importa se poi è davvero un max/min.
[/quote]
Scusate se insisto, ma...
se la nostra funzione è $ f(x,y) = x^2 -y^2 +3xy + 2y $
allora
$f_x=2x+3y$
$f_y=-2y+3x+2$
o sbaglio?
per sbrigarmi ho risolto il sistema del gradiente con Cramer e quelle mi sono saltate fuori come soluzioni, ed effettivamente soddisfano il sistema. Hai dimenticato il termine "3x" nel gradiente, le due parziali sotto invece sono giuste 
"damianoct90":
per sbrigarmi ho risolto il sistema del gradiente con Cramer e quelle mi sono saltate fuori come soluzioni, ed effettivamente soddisfano il sistema. Hai dimenticato il termine "3x" nel gradiente, le due parziali sotto invece sono giuste
Ho rifatto i conti e mi trovo,[size=70] ho citato Q.[/size].
Ad ogni modo il punto che annulla il gradiente si trova fuori dalla lunula, come giustamente ha fatto notare Quinzio.
Si giusto. 
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