Massimi e minimi vincolati esercizio
Buongiorno, ho questo esercizio sui massimi e minimi vincolati:
$ A={(x, y, z) in R^3 | x^2+y^2+z^2<=4, z>=x+y}, f(x,y,z)=x^2-yz$
devo trovare massimi e minimi. Non riesco a capire però il secondo vincolo. Per il primo è garantita l'esistenza del massimo e del minimo assoluto, ma il secondo cosa mi rappresenta? Posso trattarlo normalmente tramite i moltiplicatori di Lagrange? Grazie
$ A={(x, y, z) in R^3 | x^2+y^2+z^2<=4, z>=x+y}, f(x,y,z)=x^2-yz$
devo trovare massimi e minimi. Non riesco a capire però il secondo vincolo. Per il primo è garantita l'esistenza del massimo e del minimo assoluto, ma il secondo cosa mi rappresenta? Posso trattarlo normalmente tramite i moltiplicatori di Lagrange? Grazie
Risposte
"monicaX":
Buongiorno, ho questo esercizio sui massimi e minimi vincolati:
$ A={(x, y, z) in R^3 | x^2+y^2+z^2<=4, [highlight]z>=x+y[/highlight]}, f(x,y,z)=x^2-yz$
devo trovare massimi e minimi. Non riesco a capire però il secondo vincolo. Per il primo è garantita l'esistenza del massimo e del minimo assoluto,[highlight]ma il secondo cosa mi rappresenta?[/highlight]Posso trattarlo normalmente tramite i moltiplicatori di Lagrange? Grazie
Vuoi sapere: se il primo è una sfera il secondo cosa è?
Ciao monicaX.
E cosa intendi dire con "Posso trattarlo normalmente tramite i moltiplicatori di Lagrange?". I moltiplicatori di Lagrange si usano quando i vincoli sono delle uguaglianze, quella è una disuguaglianza.
Forse intendi dire di usare i moltiplicatori di Lagrange per trovare eventuali massimi e minimi assoluti sul bordo dell'insieme-vincolo $A$?
E cosa intendi dire con "Posso trattarlo normalmente tramite i moltiplicatori di Lagrange?". I moltiplicatori di Lagrange si usano quando i vincoli sono delle uguaglianze, quella è una disuguaglianza.
Forse intendi dire di usare i moltiplicatori di Lagrange per trovare eventuali massimi e minimi assoluti sul bordo dell'insieme-vincolo $A$?
Cosa è \(x + y - z = 0\) ? Una volta che capisci quello dovresti capire cosa è \(x + y - z \le 0\).
Comunque, anche senza sapere di cosa si tratti, potresti facilmente determinare se è un compatto o no.
È ovviamente un chiuso dato che è la controimmagine del chiuso \((-\infty, 0]\) tramite una funzione continua: \(g(x,y, z) = x + y - z\). Si può inoltre facilmente osservare che la funzione \(g\) è suriettiva e che quindi l'immagine di quell'insieme non è un compatto.
Comunque, anche senza sapere di cosa si tratti, potresti facilmente determinare se è un compatto o no.
È ovviamente un chiuso dato che è la controimmagine del chiuso \((-\infty, 0]\) tramite una funzione continua: \(g(x,y, z) = x + y - z\). Si può inoltre facilmente osservare che la funzione \(g\) è suriettiva e che quindi l'immagine di quell'insieme non è un compatto.
"gabriella127":
Ciao monicaX.
E cosa intendi dire con "Posso trattarlo normalmente tramite i moltiplicatori di Lagrange?". I moltiplicatori di Lagrange si usano quando i vincoli sono delle uguaglianze, quella è una disuguaglianza.
Forse intendi dire di usare i moltiplicatori di Lagrange per trovare eventuali massimi e minimi assoluti sul bordo dell'insieme-vincolo $A$?
Sì esatto, quando ho un vincolo che è una disequazione, non devo studiarlo sia all'interno tramite l'Hessiana ecc, e sul bordo con una parametrizzazione o i moltiplicatori di Lagrange. Mi chiedevo se posso farlo.
"vict85":
Cosa è \(x + y - z = 0\) ? Una volta che capisci quello dovresti capire cosa è \(x + y - z \le 0\).
Comunque, anche senza sapere di cosa si tratti, potresti facilmente determinare se è un compatto o no.
È ovviamente un chiuso dato che è la controimmagine del chiuso \((-\infty, 0]\) tramite una funzione continua: \(g(x,y, z) = x + y - z\). Si può inoltre facilmente osservare che la funzione \(g\) è suriettiva e che quindi l'immagine di quell'insieme non è un compatto.
I due vincoli non sono l'intersezione tra una sfera ed un piano?
Sarebbe un piano se fosse \(z = x + y\). Ma c'è un \(\ge\) al posto dell'uguale.
"vict85":
Sarebbe un piano se fosse \(z = x + y\). Ma c'è un \(\ge\) al posto dell'uguale.
e allora cos'è?
il fatto che ci sia il minore non si intende che è "pieno" ?
se fosse solo uguale sarebbe un piano, con la diseguaglianza è una delle due parti di spazio divise da quel piano.
"gio73":
se fosse solo uguale sarebbe un piano, con la diseguaglianza è una delle due parti di spazio divise da quel piano.
Ah si certo, ho capito adesso quello che intendi, grazie. Ma continuo ad avere problemi nell'affrontare l'esercizio.
"monicaX":
Sì esatto, quando ho un vincolo che è una disequazione, non devo studiarlo sia all'interno tramite l'Hessiana ecc, e sul bordo con una parametrizzazione o i moltiplicatori di Lagrange. Mi chiedevo se posso farlo.
Perché pensi di non poterlo fare? Si tratta di studiare i massimi e i minimi sulla frontiera dell'insieme ammissibile $A$.
Tra l'altro, come ti ho già detto, il semispazio è un insieme chiuso, quindi la sua intersezione con un compatto è senz'altro compatta. Questo significa che esistono massimi e minimi di quella funzione in \(A\) (che questi si trovino sulla frontiera direi che devi ancora dimostrarlo però).
Nota che \(\mathbf{O}=(0,0,0)\) appartiene alla retta che definisce il semipiano (ovvero il piano passa per il centro della sfera). Quindi, per ovvie ragioni di simmetria, l'insieme \(A\) non è altro che una semisfera.
Nota che \(\mathbf{O}=(0,0,0)\) appartiene alla retta che definisce il semipiano (ovvero il piano passa per il centro della sfera). Quindi, per ovvie ragioni di simmetria, l'insieme \(A\) non è altro che una semisfera.
Ciao Monicax
hai poi risolto?
Sono curiosa di vedere le tue soluzioni e la strategia che hai utilizzato.
hai poi risolto?
Sono curiosa di vedere le tue soluzioni e la strategia che hai utilizzato.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo