Massimi e minimi vincolati da due disequazioni
Ciao!
Ho un problema con un esercizio in cui si chiede di determinare i massimi e i minimi di
nell'insieme
io ho fatto così:
1) visto che nel vincolo \(\displaystyle f \) è continua allora il teorema di Weierstrass ammette max e min assoluti.
2) nella parte interna non ci sono massimi o minimi perche il gradiente di \(\displaystyle f \) non si annulla mai.
3) per quanto riguarda la frontiera ho trovato la funzione lagrangiana del tipo:
dove
e risolvendo il sistema trovo un unico punto per cui \(\displaystyle x>0 \) cioè
è giusto? se sì allora quel punto è sia di massimo che di minimo?
Ho un problema con un esercizio in cui si chiede di determinare i massimi e i minimi di
\(\displaystyle
f(x,y,z)=ln x
\)
f(x,y,z)=ln x
\)
nell'insieme
\(\displaystyle
D=\{(x,y,z):(x-1)^2+y^2+z^2\leq 1, x \geq 1+\sqrt{y^2+z^2} \}
\)
D=\{(x,y,z):(x-1)^2+y^2+z^2\leq 1, x \geq 1+\sqrt{y^2+z^2} \}
\)
io ho fatto così:
1) visto che nel vincolo \(\displaystyle f \) è continua allora il teorema di Weierstrass ammette max e min assoluti.
2) nella parte interna non ci sono massimi o minimi perche il gradiente di \(\displaystyle f \) non si annulla mai.
3) per quanto riguarda la frontiera ho trovato la funzione lagrangiana del tipo:
\(\displaystyle
\mathcal{L} (x,y,z,\lambda_1,\lambda_2)=f(x,y,z)-\lambda_1 g(x,y,z)-\lambda_2 h(x,y,z)
\)
\mathcal{L} (x,y,z,\lambda_1,\lambda_2)=f(x,y,z)-\lambda_1 g(x,y,z)-\lambda_2 h(x,y,z)
\)
dove
\(\displaystyle
g(x,y,z)=-x^2+y^2+z^2+1\\
h(x,y,z)=x^2-2x+y^2+z^2
\)
g(x,y,z)=-x^2+y^2+z^2+1\\
h(x,y,z)=x^2-2x+y^2+z^2
\)
e risolvendo il sistema trovo un unico punto per cui \(\displaystyle x>0 \) cioè
\(\displaystyle
\Big(\dfrac{1+\sqrt 3}{2},0,0\Big)
\)
\Big(\dfrac{1+\sqrt 3}{2},0,0\Big)
\)
è giusto? se sì allora quel punto è sia di massimo che di minimo?
Risposte
Innanzitutto osserva che quella funzione dipende solo da $x$, quindi questo procedimento non è necessario. Basta che ti restringi al caso $y=0$, $z=0$ e studi la funzione lì 
In ogni caso, il procedimento è corretto, a parte per il fatto che hai tolto la radice. Così facendo, infatti, hai cambiato il vincolo: non è più l'intersezione di una sfera e un cono a una falda, ma l'intersezione della stessa sfera con entrambe le falde del cono. In questo modo nel dominio ci ricade anche l'origine, dove la funzione logaritmo non è definita (e in cui diverge), motivo per cui hai trovato soltanto un punto, visto che il minimo non può esistere in quel dominio
In ogni caso, il procedimento è corretto, a parte per il fatto che hai tolto la radice. Così facendo, infatti, hai cambiato il vincolo: non è più l'intersezione di una sfera e un cono a una falda, ma l'intersezione della stessa sfera con entrambe le falde del cono. In questo modo nel dominio ci ricade anche l'origine, dove la funzione logaritmo non è definita (e in cui diverge), motivo per cui hai trovato soltanto un punto, visto che il minimo non può esistere in quel dominio
"Antimius":
In ogni caso, il procedimento è corretto, a parte per il fatto che hai tolto la radice.
Mamma mia la radice!
Grazie a entrambi, quindi in questo caso come è conveniente procedere? Mi viene da pensare che la funzione sia appositamente dipendente solo da x per non rendere troppo laboriosa la risoluzione...oppure è solo un caso e all'esame
Ho capito, posto la risoluzione per capire se va tutto bene o se c'è qualche errore, magari solo formale.
Determinare la ftontiera \(\displaystyle \partial D \) di D.
Calcolare gli estremi di \(\displaystyle f \) vincolati su \(\displaystyle \partial D \)
Visto che \(\displaystyle f \) dipende solo da \(\displaystyle x \) allora posso restringere \(\displaystyle D \) per \(\displaystyle y=z=0 \)
cioè \(\displaystyle 1 \leq x \leq 2 \). Allora gli estremi vincolati sono
e specificare i pti di massimo e minimo vincolato
\(\displaystyle (1,0,0) \) punto di minimo
\(\displaystyle (2,0,0) \) punto di massimo
calcolare gli estremi di \(\displaystyle f \)
\(\displaystyle inf (f)=0 \)
\(\displaystyle sup (f)=ln(2) \)
e determinare la sua immagine
\(\displaystyle f(D)=[0, ln(2)] \)
Determinare la ftontiera \(\displaystyle \partial D \) di D.
\(\displaystyle
\partial D_1=\{ (x,y,z): x^2-2x+y^2+z^2=0\}\\
\partial D_2=\{ (x,y,z): x=1+\sqrt{y^2+z^2}\}\\
\partial D=\partial D_1 \cup \partial D_2
\)
\partial D_1=\{ (x,y,z): x^2-2x+y^2+z^2=0\}\\
\partial D_2=\{ (x,y,z): x=1+\sqrt{y^2+z^2}\}\\
\partial D=\partial D_1 \cup \partial D_2
\)
Calcolare gli estremi di \(\displaystyle f \) vincolati su \(\displaystyle \partial D \)
Visto che \(\displaystyle f \) dipende solo da \(\displaystyle x \) allora posso restringere \(\displaystyle D \) per \(\displaystyle y=z=0 \)
\(\displaystyle
\begin{cases}
(x-1)^2\leq 1 \\
x \geq 1
\end{cases}
\)
\begin{cases}
(x-1)^2\leq 1 \\
x \geq 1
\end{cases}
\)
cioè \(\displaystyle 1 \leq x \leq 2 \). Allora gli estremi vincolati sono
\(\displaystyle (1,0,0), (2,0,0) \)
e specificare i pti di massimo e minimo vincolato
\(\displaystyle (1,0,0) \) punto di minimo
\(\displaystyle (2,0,0) \) punto di massimo
calcolare gli estremi di \(\displaystyle f \)
\(\displaystyle inf (f)=0 \)
\(\displaystyle sup (f)=ln(2) \)
e determinare la sua immagine
\(\displaystyle f(D)=[0, ln(2)] \)
"TeM":
[*:crmef0jf] i punti critici di \( f \) appartenenti alla porzione di bordo sferica, estra-
polandoli dalle coordinate dei punti critici liberi di \( \mathcal{L} := f - \lambda\,g \);
[/*:m:crmef0jf]
[*:crmef0jf] i punti critici di \( f \) appartenenti alla porzione di bordo conica, estrapolandoli dalle coordinate dei punti
critici liberi di \( \mathcal{L} := f - \lambda\,h \), avendo cura di aggiungere la "punta del cono", in quanto "critica di suo";
[/*:m:crmef0jf]
[*:crmef0jf] i punti critici di \( f \) appartenenti alla "curva spigolo" del bordo di \( D \), intersezione tra la superficie sferica
e la superficie conica, estrapolandoli dalle coordinate dei punti critici liberi di \( \mathcal{L} := f - \lambda_1\,g - \lambda_2\,h \).[/*:m:crmef0jf][/list:u:crmef0jf]
Ops, hai ragione! Sono andato troppo di fretta e così facendo ho considerato solo l'intersezione
Grazie ragazzi, tutto chiarissimo! Buona giornata!
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