Massimi e minimi vincolati

[DarkIchigo]

Salve,

vorrei chiedervi se il seguente procedimento va bene per calcolare i massimi e minimi vincolati:


abbiamo

[math]f(x,y)= x^{2}+3y^{2}-x[/math]

e dobbiamo calcolare i massimi e minimi assoluti vincolati dal seguente sistema:

[math]y=1-x[/math]

,

[math]y=x-1[/math]

,

[math]x=0[/math]

Calcolo il gradiente di

[math]f(x,y)[/math]

e lo impongo uguale a zero. Le soluzioni sono

[math]x=1/2, y=0[/math]

, le sostituisco alla funzione di partenza e trovo

[math]z= -1/4[/math]

Sostituisco i vincoli nella funzione di partenza, in modo tale da avere una funzione in una sola variabile, ne calcolo la derivata prima trovando questi punti stazionari

[math]A=(7/8, 1/8 , -0,06), B=(7/8, -1/8 , -0,06) , C=(0,0,0)[/math]

Considero i vertici delle equazioni dei vincoli e ne calcolo la z, quindi trovo i seguenti punti

[math]D=(0,1,3), E=(1,0,0) , F=(0,-1,3)[/math]

Infine confronto le z di tutti i punti, quelli che hanno le z piu basse saranno punti di minimo, viceversa di massimo.


E' giusto questo procedimento?

[ciampax]

Quello che scrivi è un po' confusionario. Vediamo di scrivere, passo passo, tutto quello che va fatto.

La funzione da esaminare è la seguente:

[math]f(x,y)=x^2+3y^2-x[/math]

.

1) Estremi liberi: calcolando il gradiente e ponendolo pari a zero, si ottiene il sistema di equazioni

[math]2x-1=0\qquad 6y=0[/math]

le cui soluzioni danno luogo al punto

[math]P(1/2,0)[/math]

. Per determinare che tipo di punto esso sia, va calcolata la matrice hessiana della funzione nel punto trovato. Calcolando le derivate seconde della funzione si ha

[math]H_f(P)=\left(\begin{array}{cc}
2 & 0\\ 0 & 6
\end{array}\right)[/math]

ed avendosi

[math]\det(H_f(P))=12>0[/math]

e

[math]f_{xx}(P)=2>0[/math]

, puoi concludere che tale punto è di minimo.


2) Estremi vincolati: per prima cosa, il vincolo non sono delle equazioni. Semmai quelle sono le condizioni che determinano la forma geometrica del vincolo. In pratica, devi cercare massimi e minimi sulla curva costituita dalle giustapposizioni delle tre curve

[math]y=1-x,\ y=x-1,\ x=0[/math]

. Disegnando queste tre curve, ti accorgerai che il tuo dominio è costituito dal triangolo di vertici i punti

[math]A(0,1),\ B(0,-1),\ C(1,0)[/math]

. Pertanto, quello che dovrai fare è analizzare, separatamente, il comportamento della funzione quando percorri tale triangolo (preferibilmente in senso antiorario) partendo da une dei vertici e tornandoci. Vediamo come fare, seguendo il percorso

[math]A\to B\to C\to A[/math]

i)

[math]A\to B[/math]

: dobbiamo spostarci lungo la retta di equazione

[math]x=0[/math]

(asse delle ordinate) facendo in modo di percorrere la coordinata

[math]y[/math]

dal valore 1 al valore -1: poiché questo implica un cammino a "ritroso" rispetto alla percorrenza dell'asse reale (che si percorre dai negativi verso i positivi), possiamo supporre di parametrizzare le coordinate dei punti sul segmento che congiunge A e B in questo modo:

[math](x,y)=(0,-t)\qquad t\in[-1,1][/math]

In questo modo per

[math]t=-1[/math]

si ha il punto A, mentre per

[math]t=1[/math]

il punto B. Sostituendo nella funzione si ottiene

[math]f_1(t)=f(0,-t)=3t^2[/math]

la quale (essendo una parabola) risulta avere massimi assoluti nei punti

[math]t=\pm 1[/math]

e minimo assoluto nel punto

[math]t=0[/math]

(ricorda che stai lavorando sull'insieme chiuso e limitato

[math][-1,1][/math]

e hai una funzione continua, per cui vale il teorema di Weierstrass). Lasciamo per il momento questa cosa e preoccupiamoci degli altri due rami.


ii)

[math]B\to C[/math]

: in questo caso ci troviamo sul segmento di retta di equazione

[math]y=x-1[/math]

che congiunge i due punti: una buona parametrizzazione dei punti di tale segmento risulta

[math](x,y)=(t,t-1),\qquad t\in[0,1][/math]

e pertanto, sostituendo, si ha

[math]f_2(t)=f(t,t-1)=t^2+3(t-1)^2-t=4t^2-7t+3[/math]

Dal momento che

[math]f_2'(t)=8t-7\ge 0[/math]

se e solo se

[math]t\ge 7/8[/math]

, la funzione ammette un minimo assoluto per

[math]t=7/8[/math]

e massimi assoluti nei punti

[math]t=0,\ t=1[/math]

(che corrispondono agli estremi del segmento. Lasciamo anche questo, e occupiamoci del terzo caso.


iii)

[math]C\to A[/math]

: la parametrizzazione da scegliere, a causa del fatto che il segmento viene percorso in senso contrario rispetto alla normale orientazione, è la seguente (cerca di capire il perché):

[math](x,y)=(1-t,t),\qquad t\in[0,1][/math]

Osserva che così facendo, se

[math]t=0[/math]

si ha il punto C, mentre per

[math]=1[/math]

si ha il punto A. Sostituendo

[math]f_3(t)=f(1-t,t)=(1-t)^2+3t^2-(1-t)=4t^2-t[/math]

ed avendosi

[math]f_3'(t)=8t-1\ge 0[/math]

se e solo se

[math]t\ge 1/8[/math]

, segue che tale funzione ha un minimo assoluto per

[math]t=1/8[/math]

e massimi assoluti nei punti

[math]t=0,\ t=1[/math]

, estremi del segmento.


A questo punto, vediamo di rimettere insieme le idee. Partiamo dal Punto A dove la funzione vale

[math]f(0,1)=3[/math]

. La funzione decresce, lungo la prima retta, fino al punto corrispondente a

[math]t=0[/math]

,

[math]P_1(0,0)[/math]

dove

[math]f(P_1)=0[/math]

, e poi cresce fino al punto B dove

[math]f(B)=3[/math]

. A questo punto, si passa sul secondo segmento: la funzione decresce fino al punto

[math]P_2(7/8, -1/8)[/math]

(corrispondente a

[math]t=7/8[/math]

) in cui

[math]f(P_2)=-5/32[/math]

e cresce fino al punto C in cui

[math]f(C)=0[/math]

. Infine si passa al terzo segmento: la funzione decresce fino al punto

[math]P_3(7/8,1/8)[/math]

(corrispondente a

[math]t=1/8[/math]

) dove

[math]f(P_3)=-1/16[/math]

, e poi cresce fino al punto

[math]A[/math]

. Da questa analisi risulta che il punto di minimo assoluto si ha in

[math]P_2[/math]

, dove la funzione assume il valore minore, e il massimo assoluto in A e B dove la funzione assume il valore maggiore.

[DarkIchigo]

Non ho capito perché

[math]f(P_2)=-5/32[/math]

e

[math]f(P_3)=-1/16[/math]

: in quale equazione devo sostituire x e y? E poi che fine fa il punto iniziale

[math]P(1/2,0[/math]

)? Non dovrebbe essere lui il minimo assoluto visto che

[math]f(P)= -1/4[/math]

?

[ciampax]

Devi sostituire i valori di x e y nella funzione originaria. Il minimo in P è assoluto se, quando calcoli quelli vincolati, lo stai facendo all'interno del triangolo, ma per come hai scritto, sembra che tu lo stia facendo solo lungo il perimetro. Quale delle due?

[DarkIchigo]

L'equazione originaria è

[math]f(x,y)=x^2+3y^2-x[/math]

se sostituisco il punto

[math]P_2(7/8,1/8)[/math]

e il punto

[math]P_3(7/8, -1/8)[/math]

non dovrebbe uscire in entrambi i casi

[math]-1/16[/math]

?
Per quanto riguarda il punto P, non si deve confrontare anche lui con tutti gli altri punti visto che si trova proprio all'interno del triangolo?

[ciampax]

Sì, il valore è lo stesso nei due punti (scusa, ricordando la funzione, e non "l'equazione", mi ricordavo un meno che non c'è, ecco perché calcolavo due valori diversi).

Sì, è quello che ti chiedevo io: per come hai scritto la traccia, il vincolo sembra essere solo il perimetro del triangolo, non il suo interno, per cui nel secondo caso il punto P andrebbe escluso. Ora ti ripongo la domanda: il vincolo è "all'interno del triangolo" o sul perimetro?

[DarkIchigo]

Giusto non avevo scritto che il vincolo è la regione delimitata dal triangolo, quindi deve essere preso il punto, mentre se non c'era scritto era proprio come diceva lei, per questo non mi trovavo! Mi scusi per non averlo scritto.
Visto che ci troviamo con gli stessi risultati direi che anche il procedimento che ho fatto io senza parametrizzare vada bene no?

[ciampax]

Sinceramente, no, non va bene. Tu fai solo un ragionamento relativo al "valore" puntuale e in questo caso hai "culo".
Il metodo corretto di procedere è quello che ti ho illustrato.

[DarkIchigo]

Va bene, ci rifletterò su, grazie mille.