Massimi e Minimi (vincolati)
$ f(x,y)=x(y-x) $ trovare gli estremi assoluti in $ D={(x,y):-1<=x<=2;x^2-x-2<=y<=x+1 } $
nella ricerca dei punti interni ho tovato che il gradiente si annulla nel punto (0,0) e che tale punto con lo studio dell'Hessiano risulta un punto di sella
passando ai punti di frontiera osservo il grafico bidimensionale del mio campo di scelta, l'area D è racchiusa nella parte inferiore all'asse delle ascisse dalla parabola $ x^2-x-2 $ , mentre nella parte superiore all'asse delle ascisse è racchiusa dalle rette y=x+1 (AB) e x=2 (BC)
AB
x=t y=t+1
$ f(t)=t $
$ f'(t)=1 $
f' non si annulla per nessun valore
BC
x=2 y=t
$ f(t)=2t-4 $
$ f'(t)=2 $
f' non si annulla per nessun valore
ora la mia difficoltà stà nel cercare i punti sulla parte di frontiera rimanente, come devo procedere ?
nella ricerca dei punti interni ho tovato che il gradiente si annulla nel punto (0,0) e che tale punto con lo studio dell'Hessiano risulta un punto di sella
passando ai punti di frontiera osservo il grafico bidimensionale del mio campo di scelta, l'area D è racchiusa nella parte inferiore all'asse delle ascisse dalla parabola $ x^2-x-2 $ , mentre nella parte superiore all'asse delle ascisse è racchiusa dalle rette y=x+1 (AB) e x=2 (BC)
AB
x=t y=t+1
$ f(t)=t $
$ f'(t)=1 $
f' non si annulla per nessun valore
BC
x=2 y=t
$ f(t)=2t-4 $
$ f'(t)=2 $
f' non si annulla per nessun valore
ora la mia difficoltà stà nel cercare i punti sulla parte di frontiera rimanente, come devo procedere ?
Risposte
Puoi parametrizzare anche quella con [tex]$x=t,\ y=t^2-t-2,\ t\in[-1,2]$[/tex]. Per quanto riguarda gli altri due pezzi, però, devi comunque considerare come varia il parametro:
AB [tex]$x=t,\ y=t+1,\ t\in[-1,2]$[/tex] per cui su tale retta la funzione [tex]$f(t)=t(1+t-t)=t$[/tex] risulta crescente ed ha un minimo in [tex]$t=-1$[/tex] ed un massimo in [tex]$t=2$[/tex]
BC [tex]$x=2,\ y=t,\ t\in[0,3]$[/tex] per cui su tale retta la funzione [tex]$f(t)=2(t-2)=2t-4$[/tex] risulta crescente ed ha un minimo in [tex]$t=0$[/tex] ed un massimo in [tex]$t=3$[/tex].
Quello che devi fare, alla fine, è considerare tutti questi valori (anche quelli sull'arco di parabola) è capire quali di questi risultano, effettivamente, minimi e massimi.
AB [tex]$x=t,\ y=t+1,\ t\in[-1,2]$[/tex] per cui su tale retta la funzione [tex]$f(t)=t(1+t-t)=t$[/tex] risulta crescente ed ha un minimo in [tex]$t=-1$[/tex] ed un massimo in [tex]$t=2$[/tex]
BC [tex]$x=2,\ y=t,\ t\in[0,3]$[/tex] per cui su tale retta la funzione [tex]$f(t)=2(t-2)=2t-4$[/tex] risulta crescente ed ha un minimo in [tex]$t=0$[/tex] ed un massimo in [tex]$t=3$[/tex].
Quello che devi fare, alla fine, è considerare tutti questi valori (anche quelli sull'arco di parabola) è capire quali di questi risultano, effettivamente, minimi e massimi.
ok...cmq i punti (-1,0) (2,0) e (2,3) li avrei considerati cmq alla fine dato che sono i punti in cui si intersecano le funzioni che formano la frontiera...un pò come si usa fare con i vertici quando vi è una figura geometrica regolare come può essere un triangolo o un rettangolo...
forse formalmente è più corretto scrivere come hai scritto tu...io altrimenti avrei messo a sistema 2 a 2 le varie funzioni...
forse formalmente è più corretto scrivere come hai scritto tu...io altrimenti avrei messo a sistema 2 a 2 le varie funzioni...
Allora va bene... da come avevi scritto mi sembrava che escludessi i punti estremi a priori.
se non ho fatto male i calcoli sulla parte di frontiera al di sotto dell'asse x $ (x=t;y=t^2-t-2) $
ho trovato il punto critico $ (-2+sqrt(10);14-5sqrt(10)) $
ti risulta ?
ho trovato il punto critico $ (-2+sqrt(10);14-5sqrt(10)) $
ti risulta ?
no crisso è sbagliato
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