Massimi e minimi vincolati

[Rabeluk]

salve

ho una domanda da porre, se io ho una funzione delimitata da un insieme costituito dall'intersezione di più funzioni e voglio trovare i punti critici vincolati sul bordo di tale insieme come posso procedere?

più che altro mi interessa sapere se in qualche modo si può arrivare ad usare i moltiplicatori di lagrange (cosa che mi pare alquanto strana, ma che comunque chiedo... non si sa mai!!)

[ciampax]

Certo che sì. Ma non puoi usarne 1... bensì tanti quante sono le equazioni dei vincoli. In pratica, se [tex]$f(\mathbf{x})$[/tex] è la tua funzione e [tex]$g_k(\mathbf{x})=0,\ k=1\ldots n$[/tex] sono i vincoli, dovrai usare la Lagrangiana

[tex]$\Phi(\mathbf{x},\lambda_1,\ldots,\lambda_n)=f(\mathbf{x})+\sum_{k=1}^n \lambda_k\cdot g_k(\mathbf{x})$[/tex]

[Rabeluk]

se posto un esempio mi potresti fare vedere come si fa? perchè io l'ho svolto ma usando il metodo delle restrizioni

[ciampax]

Non c'è niente di diverso dal metodo solito: una volta scritta la lagrangiana come ti ho detto, calcoli il gradiente di essa rispetto a tutte le variabili e rispetto a tutti i moltiplicatori. In questo modo hai un sistema di equazioni formato dalle derivate parziali della lagrangiana rispetto alle variabili e dai vincoli. Risolvi e trovi i valori che ti necessitano.

[Rabeluk]

scusa ma come fare se ho un insieme del genere 0

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[ciampax]

Calmo: quello di cui parli tu è la ricerca di massimi e minimi vincolati dentro un insieme e sul suo bordo. Devi dividere l'analisi del problema in due parti: per quelli all'interno procedi in modo classico utilizzando gradiente ed Hessiana. Per quelli sul bordo, invece, puoi 1) parametrizzare i vari pezzi del bordo e vedere cosa accade separatamente 2) indicare ogni singolo pezzo del bordo con un vincolo [tex]$g_k(x)=0$[/tex] e procedere come ti dicevo. Ad esempio, con il metodo che ti spiegavo avresti i vincoli [tex]$g_1(x,y)=x-1,\ g_2(x,y)=y-x,\ g_3(x,y)=y+x$[/tex] per cui la lagrangiana diventa

[tex]$\Phi(x,y,\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)=f(x,y)+\lambda_1(x-1)+\lambda_2(y-x)+\lambda_3(y+x)$[/tex]

A questo punto calcoli le derivate parziali rispetto a [tex]$x, y, \lambda_i, i=1,2,3$[/tex] poni tutto uguale a zero e risolvi il sistema di 5 equazioni in 5 incognite.

[Rabeluk]

quindi a quanto pare è più conveniente non usare la lagrangiana in casi del genere..... risolvere tali equazioni richiede molto più tempo...io ho usato il primo metodo che hai descritto... ho parametrizzato e poi ho considerato ogni singolo lato del triangolo.....
lo stesso vale se il bordo è costituito dall'intersezione di più funzioni che non siano rette? (sempre se esistono situazioni del genere)

[ciampax]

Certo che sì. In ogni caso, prova a risolvere con questo metodo e vedi cosa viene fuori.

[Rabeluk]

ok
grazie mille,gentilissimo.. alla prossima,ciao