Massimi e minimi vincolati
Buonasera, non riesco a risolvere quest'esercizio
trova i punti di min/max vincolati della funzione f(x,y)=$(x+y)^3$ sotto il vincolo $x^2 + y^2 -2$, per la risoluzione mi è richiesto di utilizzare il metodo dell'hessiano orlato.
Inoltre dovrei individuare i punti in cui la condizione sufficiente dell'hessiano orlato è inconclusiva.
sapreste darmi una mano? vi ringrazio anticipatamente
trova i punti di min/max vincolati della funzione f(x,y)=$(x+y)^3$ sotto il vincolo $x^2 + y^2 -2$, per la risoluzione mi è richiesto di utilizzare il metodo dell'hessiano orlato.
Inoltre dovrei individuare i punti in cui la condizione sufficiente dell'hessiano orlato è inconclusiva.
sapreste darmi una mano? vi ringrazio anticipatamente
Risposte
Non ho capito bene il vincolo
$x^2+y^2-2$...
Segue per caso qualcosa?
$x^2+y^2-2$...
Segue per caso qualcosa?
non saprei rispondere, l'esercizio mi dà una funzione in due variabili f(x,y) e una funzione del vincolo g(x,y) = $x^2 + y^2 -2$, mi chiede di determinare i punti di min/max vincolato di f sotto il vincolo g.
non saprei dirti se segue qualcosa
non saprei dirti se segue qualcosa
Potrebbe seguire un $<=0$?
Ciao Masta,
Immagino che il vincolo sia $g(x, y) = x^2 + y^2 - 2 = 0 $ (circonferenza di raggio $\sqrt2$) e quindi la lagrangiana è la seguente:
$\mathcal{L}(x, y, \lambda) = f(x,y) + \lambda g(x,y) = (x+y)^3 + \lambda (x^2 + y^2 - 2) $
Diunque si ha il sistema seguente:
$ {(\mathcal{L}_x(x, y, \lambda) = f_x(x,y) + \lambda g_x(x,y) = 0),(\mathcal{L}_y(x, y, \lambda) = f_y(x,y) + \lambda g_y(x,y) = 0),(\mathcal{L}_{\lambda}(x, y, \lambda) = g(x,y) = 0):} $
$ {(3(x + y)^2 + 2 \lambda x = 0),(3(x + y)^2 + 2\lambda y = 0),(x^2 + y^2 - 2 = 0):} $
che fornisce le $4 $ soluzioni $P_1(1, - 1, 0) $, $P_2(- 1, 1, 0) $, $P_3(1, 1, - 6) $ e $P_4(- 1, -1, 6) $ (si osservi che la funzione $f(x,y) $ proposta ha dominio naturale $D = \RR^2 $ e che $f(- x, - y) = - f(x, y) $).
L'hessiano orlato è il seguente:
[tex]|H(P(x,y,\lambda))| = \begin{vmatrix} 0 & g_x & g_y \\ g_x & \mathcal{L}_{x x} & \mathcal{L}_{xy} \\ g_y & \mathcal{L}_{yx} & \mathcal{L}_{yy}
\end{vmatrix}[/tex]
Nel caso in esame si ha:
$|H(P(x,y,\lambda))|= |(0, 2x, 2y) , (2x,6(x + y) + 2\lambda,6(x + y)) , (2y,6(x + y),6(x +y) + 2\lambda)| $
Lascio a te il calcolo dell'hessiano orlato nei $4$ punti ottenuti $P_i(x_i, y_i, \lambda_i) $, $i = 1, 2, 3, 4 $.
Immagino che il vincolo sia $g(x, y) = x^2 + y^2 - 2 = 0 $ (circonferenza di raggio $\sqrt2$) e quindi la lagrangiana è la seguente:
$\mathcal{L}(x, y, \lambda) = f(x,y) + \lambda g(x,y) = (x+y)^3 + \lambda (x^2 + y^2 - 2) $
Diunque si ha il sistema seguente:
$ {(\mathcal{L}_x(x, y, \lambda) = f_x(x,y) + \lambda g_x(x,y) = 0),(\mathcal{L}_y(x, y, \lambda) = f_y(x,y) + \lambda g_y(x,y) = 0),(\mathcal{L}_{\lambda}(x, y, \lambda) = g(x,y) = 0):} $
$ {(3(x + y)^2 + 2 \lambda x = 0),(3(x + y)^2 + 2\lambda y = 0),(x^2 + y^2 - 2 = 0):} $
che fornisce le $4 $ soluzioni $P_1(1, - 1, 0) $, $P_2(- 1, 1, 0) $, $P_3(1, 1, - 6) $ e $P_4(- 1, -1, 6) $ (si osservi che la funzione $f(x,y) $ proposta ha dominio naturale $D = \RR^2 $ e che $f(- x, - y) = - f(x, y) $).
L'hessiano orlato è il seguente:
[tex]|H(P(x,y,\lambda))| = \begin{vmatrix} 0 & g_x & g_y \\ g_x & \mathcal{L}_{x x} & \mathcal{L}_{xy} \\ g_y & \mathcal{L}_{yx} & \mathcal{L}_{yy}
\end{vmatrix}[/tex]
Nel caso in esame si ha:
$|H(P(x,y,\lambda))|= |(0, 2x, 2y) , (2x,6(x + y) + 2\lambda,6(x + y)) , (2y,6(x + y),6(x +y) + 2\lambda)| $
Lascio a te il calcolo dell'hessiano orlato nei $4$ punti ottenuti $P_i(x_i, y_i, \lambda_i) $, $i = 1, 2, 3, 4 $.
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