Massimi e minimi vincolati
salve ragazzi, devo trovare i punti critici della funzione $ f:RR^2->RR $ $ f(x,y)=y^3-x^2y-y^2+x^2 $ sull'insieme $ E={(x,y)∈RR^2|x^2<=2-y<=4} $ .
sto cercando innanzitutto i punti in cui si annulla il gradiente: $ { ( -2xy+2x=0 ),( 3y^2-x^2-2y=0 ):} $
ma non riesco a risolvere correttamente questo sistema, anche se semplice. potete spiegarmi come fare?
inoltre, ho difficoltà nel disegnare l'insieme $ E $ : come capisco che è una parabola con concavità verso il basso e non verso l'alto?
sto cercando innanzitutto i punti in cui si annulla il gradiente: $ { ( -2xy+2x=0 ),( 3y^2-x^2-2y=0 ):} $
ma non riesco a risolvere correttamente questo sistema, anche se semplice. potete spiegarmi come fare?
inoltre, ho difficoltà nel disegnare l'insieme $ E $ : come capisco che è una parabola con concavità verso il basso e non verso l'alto?
Risposte
Se il sistema lo riscriviamo così ti sembra meglio:
$ { ( x(1-y)=0 ),( 3y^2-x^2-2y=0 ):} $
Cosa hai fatto per disegnare l'insieme $E$?
$ { ( x(1-y)=0 ),( 3y^2-x^2-2y=0 ):} $
Cosa hai fatto per disegnare l'insieme $E$?
dalla prima equazione quindi ricavo x=0 e y=1.
che però non sono ancora soluzioni, devo sostituire prima x=0 nella seconda equazione e risolverla, e poi sostituire y=1 nella seconda equazione e risolverla e ho finito?
per disegnare E ho visto cosa succede quando x=0 e quando y=0. ho capito che y va da -2 a +2 e che x va da $ -√2 $ a $ √2 $
mi resta da capire come "unire" questi punti
che però non sono ancora soluzioni, devo sostituire prima x=0 nella seconda equazione e risolverla, e poi sostituire y=1 nella seconda equazione e risolverla e ho finito?
per disegnare E ho visto cosa succede quando x=0 e quando y=0. ho capito che y va da -2 a +2 e che x va da $ -√2 $ a $ √2 $
mi resta da capire come "unire" questi punti
Perchè non dovresti avere finito??
Per quanto riguarda $E$, perche dovrebbero interessarti solo i punti (rette) x=0 e y=0 ??
Se E fosse $ E={(x,y)∈RR^2| 2-y<=4} $ che sottoinsieme di $R^2$ sarebbe??
Per quanto riguarda $E$, perche dovrebbero interessarti solo i punti (rette) x=0 e y=0 ??
Se E fosse $ E={(x,y)∈RR^2| 2-y<=4} $ che sottoinsieme di $R^2$ sarebbe??
il problema è che sostituendo x=0 trovo y=0 e y=2/3, ossia i punti candidati (0,0) e (0,2/3) che anche il libro riporta.
ma quando sostituisco y=1 trovo x=+1 e x=-1, contrariamente al libro che riporta come altri punti candidati (1,+1) e (1,-1) cioè praticamente con x e y invertite.
per quanto riguarda E, dovrebbe essere una retta 'obliqua' che interseca l'asse delle ordinate nel punto 2, è giusto? quindi 'concavità' verso il basso
ma quando sostituisco y=1 trovo x=+1 e x=-1, contrariamente al libro che riporta come altri punti candidati (1,+1) e (1,-1) cioè praticamente con x e y invertite.
per quanto riguarda E, dovrebbe essere una retta 'obliqua' che interseca l'asse delle ordinate nel punto 2, è giusto? quindi 'concavità' verso il basso
Ciao itisscience,
Di $E $ considera separatamente l'uguaglianza di destra (una retta orizzontale) e quella di sinistra (una parabola): come si capisce se una parabola ha la concavità verso l'alto o verso il basso? Dai su, questa è roba da seconda/terza superiore...
"itisscience":
quindi 'concavità' verso il basso
Di $E $ considera separatamente l'uguaglianza di destra (una retta orizzontale) e quella di sinistra (una parabola): come si capisce se una parabola ha la concavità verso l'alto o verso il basso? Dai su, questa è roba da seconda/terza superiore...
No, pensaci meglio.
Il problema è che ci sono delle difficolta anche solo per individuare l'insieme che per non confonderci chiameremo
$D={(x,y)\in R^2 | 2-y \le 4}$
Il problema è che ci sono delle difficolta anche solo per individuare l'insieme che per non confonderci chiameremo
$D={(x,y)\in R^2 | 2-y \le 4}$
vedendo l'insieme in questo modo ho capito, grazie mille. per quanto riguarda la seconda parte del sistema invece?
Comincerei con l'osservare che il dominio $E $ è pari ed anche la funzione $f(x, y) = y^3-x^2y-y^2+x^2 $, definita su tutto $D = \RR^2 $, è pari rispetto a $x$:
$f(- x, y) = f(x, y) $
Il sistema è il seguente:
$ {(x(1 - y) = 0),(3y^2 - x^2 - 2y = 0):} $
Dalla prima equazione si trova subito $x = 0$ e $y = 1$
Per $x = 0 $ dalla seconda equazione si ottiene $3y^2 - 2y = 0 \implies y(3y - 2) = 0 $ da cui $y_1 = 0 $
e $y_2 = 2/3 $ e quindi i due punti critici $ O(0, 0)$ (che annulla la funzione) e $ M(0, 2/3) $;
per $y = 1 $ dalla seconda equazione si ottiene $1 - x^2 = 0 \implies x_1 = 1$ e $x_2 = - 1 $ e quindi
i due punti critici $P(1, 1)$ e $Q(- 1, 1) $
Sfruttando la parità della funzione $z = f(x, y) = f(- x, y) $ si vede subito che risulta $z_O = z_P = z_Q = 0 $,
mentre si ha:
$z_M = f(0, 2/3) = (2/3)^3 - (2/3)^2 = 8/27 - 4/9 = (8 - 12)/27 = - 4/27 < 0 $
Pertanto si conclude che $ M(0, 2/3) $ è un punto di minimo per la funzione $z = f(x, y) $ proposta.
$f(- x, y) = f(x, y) $
Il sistema è il seguente:
$ {(x(1 - y) = 0),(3y^2 - x^2 - 2y = 0):} $
Dalla prima equazione si trova subito $x = 0$ e $y = 1$
Per $x = 0 $ dalla seconda equazione si ottiene $3y^2 - 2y = 0 \implies y(3y - 2) = 0 $ da cui $y_1 = 0 $
e $y_2 = 2/3 $ e quindi i due punti critici $ O(0, 0)$ (che annulla la funzione) e $ M(0, 2/3) $;
per $y = 1 $ dalla seconda equazione si ottiene $1 - x^2 = 0 \implies x_1 = 1$ e $x_2 = - 1 $ e quindi
i due punti critici $P(1, 1)$ e $Q(- 1, 1) $
Sfruttando la parità della funzione $z = f(x, y) = f(- x, y) $ si vede subito che risulta $z_O = z_P = z_Q = 0 $,
mentre si ha:
$z_M = f(0, 2/3) = (2/3)^3 - (2/3)^2 = 8/27 - 4/9 = (8 - 12)/27 = - 4/27 < 0 $
Pertanto si conclude che $ M(0, 2/3) $ è un punto di minimo per la funzione $z = f(x, y) $ proposta.
perfetto, allora c'era un errore di stampa. ti ringrazio, sei sempre chiarissimo
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