Massimi e minimi vincolati
Buonasera ragazzi, sto avendo un po' di difficoltà con questo esercizio:
Determinare il massimo di $f(x,y,z)=xy^2z^3$ nell'insieme $ E=[x^2+y^2+z^2<=1] $.
Ho provato a risolvere in questo modo:
Per prima cosa considero i punti interni di E, cioè nell'insieme: $ E_1=[x^2+y^2+z^2<1] $. Dal momento che la $f$ è di classe $C^oo$ in $E_1$ e $E_1$ è un compatto, il Teorema di Weierstrass ci dice che esistono massimo e minimo assoluti finiti.
Procedo quindi ponendo uguale a zero il gradiente di $f$:
$ { ( y^2z^3=0 ),(2xyz^3=0 ),( 3xy^2z^2=0):} $
da cui ottengo i punti: $(x,0,z)$ e $(x,y,0)$
Quindi per capire che tipo di punti ho calcolato l'Hessiano di $f$:
$ H_(f(x,y,z))=( ( 0 , 2yz^3 , 3y^2z^2 ),( 2yz^3 , 2xz^3 , 6xyz^2 ),(3y^2z^2 , 6xyz^2 , 6xy^2z ) ) $
che in corrispondenza dei punti $(x,0,z)$, diventa:
$ H_(f(x,y,z))=( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 2xz^3 , 0 ),(0 , 0 , 0 ) ) $
Dal momento che l'Hessiano è nullo il metodo fallisce.
A questo punto ho provato ad usare il metodo del segno. Uso per prima cosa il metodo quando $f(x,0,y) = 0$ . Quindi ottengo che per ogni intorno di $(x,0,z)$ f assume valori nulli, quindi non so cosa concludere.
Lo stesso problema lo ritrovo quando vado a togliere la condizione di annullamento di $f(x,0,z)$, infatti per nessun valore di $x$ e $z$ la $f$ risulta diversa da zero.
Gli stessi problemi li ritrovo con i punti $(x,y,0)$. Qualcuno potrebbe aiutarmi? Grazie in anticipo!
Determinare il massimo di $f(x,y,z)=xy^2z^3$ nell'insieme $ E=[x^2+y^2+z^2<=1] $.
Ho provato a risolvere in questo modo:
Per prima cosa considero i punti interni di E, cioè nell'insieme: $ E_1=[x^2+y^2+z^2<1] $. Dal momento che la $f$ è di classe $C^oo$ in $E_1$ e $E_1$ è un compatto, il Teorema di Weierstrass ci dice che esistono massimo e minimo assoluti finiti.
Procedo quindi ponendo uguale a zero il gradiente di $f$:
$ { ( y^2z^3=0 ),(2xyz^3=0 ),( 3xy^2z^2=0):} $
da cui ottengo i punti: $(x,0,z)$ e $(x,y,0)$
Quindi per capire che tipo di punti ho calcolato l'Hessiano di $f$:
$ H_(f(x,y,z))=( ( 0 , 2yz^3 , 3y^2z^2 ),( 2yz^3 , 2xz^3 , 6xyz^2 ),(3y^2z^2 , 6xyz^2 , 6xy^2z ) ) $
che in corrispondenza dei punti $(x,0,z)$, diventa:
$ H_(f(x,y,z))=( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 2xz^3 , 0 ),(0 , 0 , 0 ) ) $
Dal momento che l'Hessiano è nullo il metodo fallisce.
A questo punto ho provato ad usare il metodo del segno. Uso per prima cosa il metodo quando $f(x,0,y) = 0$ . Quindi ottengo che per ogni intorno di $(x,0,z)$ f assume valori nulli, quindi non so cosa concludere.
Lo stesso problema lo ritrovo quando vado a togliere la condizione di annullamento di $f(x,0,z)$, infatti per nessun valore di $x$ e $z$ la $f$ risulta diversa da zero.
Gli stessi problemi li ritrovo con i punti $(x,y,0)$. Qualcuno potrebbe aiutarmi? Grazie in anticipo!
Risposte
"TeM":
scartando tutti quelli che non appartengono all'interno di $E$, ossia all'insieme
$bar(E):={(x,y,z)∈RR^3:x^2+y^2+z^2<1}$,
Scusa la mia ignoranza, ma allora se l'Hessiano in corrispondenza di un punto è uguale a zero devo scartare il punto? Altrimenti non mi spiego il fatto del perchè stiamo scartando i punti di $ bar(E) = {x^2+y^2+z^2<1} $. Non potrebbe esserci un punto di massimo o minimo assoluto in quest'insieme? Forse ho sbagliato il titolo del problema
Grazie mille sei stato chiarissimo!! Sì stavo confondendo,a me in realtà dal momento che ho applicato Weierstrass, non serve sapere che tipo di punti sono.. Vado subito a guardarmi l'esercizio linkato 
Allora ho provato a risolvere sul bordo utilizzando i moltiplicatori di Lagrange considerando la funzione:
$ L(x,y,z,lambda)=xy^2z^3 - lambda(x^2+y^2+z^2-1) $
Allora pongo il gradiente della funzione pari a zero. In questo modo ottengo il sistema:
$ { ( y^2z^3-2lambdax=0 ),( 2xyz^3-2lambday=0 ),( 3xy^2z^2-2lambdaz=0 ),( x^2+y^2+z^2=1 ):} $
Quindi il passaggio successivo è stato:
$ { ( x=(y^2z^3)/(2lambda) ),( 2y(xz^3-2lambda)=0 ),( z(3xy^2z-2lambda)=0 ),( x^2+y^2+z^2=1 ):} $
Nel caso in cui $x=0$ devo avere anche $y=0$ e $x=0$ ma a questo punto la quarta equazione non è verificata. Per questo devo porre:
$ xz^3-2lambda=0$ e$ 3xy^2z-2lambda=0 $ , ottenendo:
$ { ( x=(y^2z^3)/(2lambda) ),( x=lambda/(z^3) ),(y^2=(2lambda)/(3xz) ),( x^2+y^2+z^2=1):} $
sostituendo trovo $z^8=3lambda^2$. Quindi non so come continuare perchè poi sostituendo nell'equazione finale $x^2+y^2+z^2=1$ esce qualcosa di irrisolvibile. Dovrei andare di parametrizzazzione?
$ L(x,y,z,lambda)=xy^2z^3 - lambda(x^2+y^2+z^2-1) $
Allora pongo il gradiente della funzione pari a zero. In questo modo ottengo il sistema:
$ { ( y^2z^3-2lambdax=0 ),( 2xyz^3-2lambday=0 ),( 3xy^2z^2-2lambdaz=0 ),( x^2+y^2+z^2=1 ):} $
Quindi il passaggio successivo è stato:
$ { ( x=(y^2z^3)/(2lambda) ),( 2y(xz^3-2lambda)=0 ),( z(3xy^2z-2lambda)=0 ),( x^2+y^2+z^2=1 ):} $
Nel caso in cui $x=0$ devo avere anche $y=0$ e $x=0$ ma a questo punto la quarta equazione non è verificata. Per questo devo porre:
$ xz^3-2lambda=0$ e$ 3xy^2z-2lambda=0 $ , ottenendo:
$ { ( x=(y^2z^3)/(2lambda) ),( x=lambda/(z^3) ),(y^2=(2lambda)/(3xz) ),( x^2+y^2+z^2=1):} $
sostituendo trovo $z^8=3lambda^2$. Quindi non so come continuare perchè poi sostituendo nell'equazione finale $x^2+y^2+z^2=1$ esce qualcosa di irrisolvibile. Dovrei andare di parametrizzazzione?
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