Massimi e minimi vincolati
Ciao a tutti,vorrei chiedere una conferma per quanto riguarda questo esercizio..
individuare i massimi e minimi relativi e assoluti della funzione $f(x;y)=x^2-y^2$ vincolati alla curva di equazione $16x^2+9y^2=25$ .
allora,io ho trasformato la curva in $x^2/(25/16)+y^2/(25/9)=1$ ho così un ellisse con $a=5/4$ e $b=5/3$ so che devo lavorare sul bordo della curva e la parametrizzo con ${(x=5/4cos(t)) ; (y=5/3sin(t))}$ sostituisco le coordinate nella funzione e ottengo $f(x;y)=25/16cos^2(t)-25/9sin^2(t)=0$ che derivando diventa $-425/36cos(t)sin(t)=0$ ottengo così $t=0$ ,$t=pi$ ,$t=pi/2$ , $t=3/2pi$ ...trovando così le varie coordinate per i diversi valori di t ottengo che la funzione ha un massimo per $t=0$ e $t=pi$ con $f=25/16$ e un minimo per $t=pi/2$ e $t=3/2pi$ con $f=-25/9$ ..fin qui è giusto? esistono altri massimi e minimi?
individuare i massimi e minimi relativi e assoluti della funzione $f(x;y)=x^2-y^2$ vincolati alla curva di equazione $16x^2+9y^2=25$ .
allora,io ho trasformato la curva in $x^2/(25/16)+y^2/(25/9)=1$ ho così un ellisse con $a=5/4$ e $b=5/3$ so che devo lavorare sul bordo della curva e la parametrizzo con ${(x=5/4cos(t)) ; (y=5/3sin(t))}$ sostituisco le coordinate nella funzione e ottengo $f(x;y)=25/16cos^2(t)-25/9sin^2(t)=0$ che derivando diventa $-425/36cos(t)sin(t)=0$ ottengo così $t=0$ ,$t=pi$ ,$t=pi/2$ , $t=3/2pi$ ...trovando così le varie coordinate per i diversi valori di t ottengo che la funzione ha un massimo per $t=0$ e $t=pi$ con $f=25/16$ e un minimo per $t=pi/2$ e $t=3/2pi$ con $f=-25/9$ ..fin qui è giusto? esistono altri massimi e minimi?
Risposte
a mio avviso per questo esercizio è molto più facile non portarci in coordinate ellittiche, o parametrizzando perchè introduciamo funzioni periodiche che sono scomode da studiare. io introdurrei lagrangiana $L=x^2-y^2-lambda(16x^2+9y^2-25)$
risolvendo ora il sistema $ { ( (partialL)/(partialx)=0 ),( (partialL)/(partialy)=0 ),( (partialL)/(partiallambda)=0 ):} $
ottengo i punti $A_i=(+-5/4,0,1/16) ^^ B_i=(0,+-5/3,-1/9)$ con $i=1,2$
studiando ora l'hessiano orlato puoi scoprire se sono massimi o minimi
risolvendo ora il sistema $ { ( (partialL)/(partialx)=0 ),( (partialL)/(partialy)=0 ),( (partialL)/(partiallambda)=0 ):} $
ottengo i punti $A_i=(+-5/4,0,1/16) ^^ B_i=(0,+-5/3,-1/9)$ con $i=1,2$
studiando ora l'hessiano orlato puoi scoprire se sono massimi o minimi
"arnett":
terza coordinata
la terza rappresenta lambda, anche se forse come notazione non è delle più felici. sono abituato a metterla perchè studiando l'hessiano orlato può servire conoscerla
"arnett":
Inoltre per stabilire se sono massimi o minimi basta calcolare il valore di f in tali punti: il vincolo è un insieme compatto
hai perfettamente ragione, sono abituato dalle superiori al metodo dell'hessiano orlato e mi è difficile scrollarmelo di dosso in effetti
un'ultima precisazione giusto per rispondere a
non ho controllato tutti i conti ma vedendo cosa ti escono le f dovrebbero essere giusti. un solo errore: $t=pi,pi/2$ ecc sono gli stremanti per la parametrizzazione. per rispondere correttamente alla domanda dell'esercizio devi tornare alle coordinate x,y. facendolo e confrontando con i risultati che ti abbiamo indicato io ed @arnett sei in grado di valutare se sono tutti corretti
"angelad97":
fin qui è giusto?
non ho controllato tutti i conti ma vedendo cosa ti escono le f dovrebbero essere giusti. un solo errore: $t=pi,pi/2$ ecc sono gli stremanti per la parametrizzazione. per rispondere correttamente alla domanda dell'esercizio devi tornare alle coordinate x,y. facendolo e confrontando con i risultati che ti abbiamo indicato io ed @arnett sei in grado di valutare se sono tutti corretti
Grazie mille ad entrambi! 
ho controllato ed il risultato è giusto!
ho controllato ed il risultato è giusto!
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