Massimi e minimi vincolati

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Ciao ragazzi,

ho ancora molti dubbi sui massimi e minimi vincolati, non riesco davvero a venirne fuori. La tipologia di esercizi che non riesco a risolvere è questa:
dato un insieme:

\(\displaystyle D=\{x^2+y^2+z^2\leq 25,\,3x^2+y^2+z^2=27\} \)

e la funzione

\(\displaystyle f(x,y,z)=x\,e^{yz} \)

i) determinare la frontiera di D

Qui penso basti prendere la parte esterna ossia:

\(\displaystyle
\partial D_1=\{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2=25\}\\
\partial D_2=\{(x,y,z)|3x^2+y^2+z^2=27\}\\
\partial D=\partial D_1\cup \partial D_2
\)

ii) calcolare gli estremi di f vincolati su \(\displaystyle \partial D \)

Allora di solito procedo in diverse fasi:
-trovo i punti critici all'interno di D annullando il gradiente di f (in questo caso non serve perchè mi chiede solo i punti sulla frontiera e comunque il gradiente non si annulla mai)
-trovo i punti critici di f che appartengono al bordo della sfera con i moltiplicatori di Lagrange
-trovo i punti critici di f che appartengono al bordo dell'ellissoide con lagrange
-per il teorema di Weirstrass basta valutare f nei punti critici per trovare gli estremi.
(ho scritto qualche cavolata?)

dunque una volta arrivata a risolvere il sistema del gradiente della lagrangiana trovo i primi problemi. Qual è il metodo migliore per risolvere questo sistema?

\(\displaystyle
\begin{cases}
e^{yz}-\lambda 2x=0\\
xze^{yz}-2\lambda y=0\\
xye^{yz}-2\lambda z=0\\
x^2+y^2+z^2-25=0
\end{cases}
\)

intanto mi fermo qui, mi sembra di aver messo già abbastanza carne al fuoco...grazie in anticipo a chi mi voglia aiutare

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Nessuno riesce ad aiutarmi? Purtroppo non riesco a reperire esercizi svolti di questo tipo.