Massimi e minimi vincolati
Rieccomi qui con un problema che non riesco a risolvere.
Determina i punti di min/max vincolato della funzione $ f(x,y)=(x+9)(4y+1) $ sotto il vincolo $ x^2y^2-1=0 $ .
Anzitutto vi pregherei di confermare, o laddove sbagliato correggere, il ragionamento generale che è alla base della risoluzione di questo tipo di esercizi dato che, tra tutti gli esercizi proposti dal docente nelle sue dispense, sembra essere (questo) uno tra i più semplici.
1) Determino l'insieme di definizione di $ f(x,y) $ e $ g(x,y) $ e verifico che $ f(x,y) , g(x,y)in C^1 $ , dato che l'eventuale non continuità della funzione e/o del vincolo implicherebbe, per la condizione sufficiente della differenziabilità, una non differenziabilità e, di conseguenza, l'impossibilità di applicare la condizione necessaria del I° ordine per il calcolo dei punti stazionari di $ f(x,y) $ .
2) A questo punto, per poter applicare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, devo verificare la condizione di regolarità del Teorema di Dini. Il vincolo si considera qualificato se soddisfa la condizione $ grad g(x,y)!= 0,AA x $ ,
3) Applico il Teorema di Lagrange, che afferma che $ EE x0 in D g(x,y)se EE lambda in R:grad f(x0)+lambda grad g(x0)=0,g(x)=0 $
4) Risolvo il sistema di equazioni generato e dalle soluzioni $ (x,y,lambda ) $ sopprimo la terza componente, quella dedicata a $ lambda $ , per ottenere i punti stazionari della Lagrangiana.
5) Sostituisco i punti stazionari trovati nella $ f(x,y) $ per studiare il segno della funzione: se $ f(x,y)<0 $ il punto stazionario è un punto di minimo; se $ f(x,y)>0 $ il punto stazionario è un punto di massimo.
Detto questo vengo all'esercizio.
L'insieme di definizione di $ f(x,y) $ è tutto $ R^2 $ , così come quello di $ g(x,y) $ , per cui entrambe le funzioni sono continue nel loro dominio. Definisco $ D=[(x,y)inR^2:x^2y^2=1] $ .
Calcolo poi il gradiente del vincolo: $ grad g(x,y)=[ ( 2xy^2 ),( 2x^2y ) ] $ se e solo se $ [ ( 0 ),( 0 ) ] $ non appartiene a $ D=[(x,y)inR^2:x^2y^2=1] $. Ne concludo che il vincolo è qualificato.
Calcolo il gradiente della funzione : $ grad f(x,y)=[ ( 4y+1 ),( 4x+36 ) ] $.
Il sistema ottenuto dalla Lagrangiana è: $ [ ( 4y+1 ),( 4x+36 ) ] +lambda [ ( 2xy^2 ),( 2x^2y ) ] ={ ( 4y+1+2lambdaxy^2 =0 ),( 4x+36+2lambdax^2y =0 ),( x^2y^2-1=0 ):} $ .
Ora mi blocco. Non riesco a trovare il modo per ricavarmi le soluzioni. Ho provato a sottrarre la prima equazione dalla seconda: $ 4x+36-2lambda x^2y-4y-1+2lambda xy^2=0 ->4(x-y)-2lambda xy(x-y)+35=0->(x-y)[4-2lambda xy]+35=0 $
Adesso se considero separatamente $ y=x $ (per andarlo a sostituire nella terza equazione) e $ [4-2lambda xy]=0 $ , che fine fa il $ 35 $ ? Scompare o lo devo portare appresso ad entrambe le due parti dell'equazione (ovvero a dire, anziché appunto $ y=x $ da sostituire nella terza equazione, sostituisco $ y=x-35 $)?
Scusate la confusione, grazie in anticipo a chi vorrà aiutarmi!
Determina i punti di min/max vincolato della funzione $ f(x,y)=(x+9)(4y+1) $ sotto il vincolo $ x^2y^2-1=0 $ .
Anzitutto vi pregherei di confermare, o laddove sbagliato correggere, il ragionamento generale che è alla base della risoluzione di questo tipo di esercizi dato che, tra tutti gli esercizi proposti dal docente nelle sue dispense, sembra essere (questo) uno tra i più semplici.
1) Determino l'insieme di definizione di $ f(x,y) $ e $ g(x,y) $ e verifico che $ f(x,y) , g(x,y)in C^1 $ , dato che l'eventuale non continuità della funzione e/o del vincolo implicherebbe, per la condizione sufficiente della differenziabilità, una non differenziabilità e, di conseguenza, l'impossibilità di applicare la condizione necessaria del I° ordine per il calcolo dei punti stazionari di $ f(x,y) $ .
2) A questo punto, per poter applicare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, devo verificare la condizione di regolarità del Teorema di Dini. Il vincolo si considera qualificato se soddisfa la condizione $ grad g(x,y)!= 0,AA x $ ,
3) Applico il Teorema di Lagrange, che afferma che $ EE x0 in D g(x,y)se EE lambda in R:grad f(x0)+lambda grad g(x0)=0,g(x)=0 $
4) Risolvo il sistema di equazioni generato e dalle soluzioni $ (x,y,lambda ) $ sopprimo la terza componente, quella dedicata a $ lambda $ , per ottenere i punti stazionari della Lagrangiana.
5) Sostituisco i punti stazionari trovati nella $ f(x,y) $ per studiare il segno della funzione: se $ f(x,y)<0 $ il punto stazionario è un punto di minimo; se $ f(x,y)>0 $ il punto stazionario è un punto di massimo.
Detto questo vengo all'esercizio.
L'insieme di definizione di $ f(x,y) $ è tutto $ R^2 $ , così come quello di $ g(x,y) $ , per cui entrambe le funzioni sono continue nel loro dominio. Definisco $ D=[(x,y)inR^2:x^2y^2=1] $ .
Calcolo poi il gradiente del vincolo: $ grad g(x,y)=[ ( 2xy^2 ),( 2x^2y ) ] $ se e solo se $ [ ( 0 ),( 0 ) ] $ non appartiene a $ D=[(x,y)inR^2:x^2y^2=1] $. Ne concludo che il vincolo è qualificato.
Calcolo il gradiente della funzione : $ grad f(x,y)=[ ( 4y+1 ),( 4x+36 ) ] $.
Il sistema ottenuto dalla Lagrangiana è: $ [ ( 4y+1 ),( 4x+36 ) ] +lambda [ ( 2xy^2 ),( 2x^2y ) ] ={ ( 4y+1+2lambdaxy^2 =0 ),( 4x+36+2lambdax^2y =0 ),( x^2y^2-1=0 ):} $ .
Ora mi blocco. Non riesco a trovare il modo per ricavarmi le soluzioni. Ho provato a sottrarre la prima equazione dalla seconda: $ 4x+36-2lambda x^2y-4y-1+2lambda xy^2=0 ->4(x-y)-2lambda xy(x-y)+35=0->(x-y)[4-2lambda xy]+35=0 $
Adesso se considero separatamente $ y=x $ (per andarlo a sostituire nella terza equazione) e $ [4-2lambda xy]=0 $ , che fine fa il $ 35 $ ? Scompare o lo devo portare appresso ad entrambe le due parti dell'equazione (ovvero a dire, anziché appunto $ y=x $ da sostituire nella terza equazione, sostituisco $ y=x-35 $)?
Scusate la confusione, grazie in anticipo a chi vorrà aiutarmi!
Risposte
Parli di teorema del dini, moltiplicatori di lagrange e i massimi sistemi e poi sbagli a risolvere una equazione...come fa a sparire il 35?
Dall'equazione $x^2y^2=1$ ricava $x=1/y$ e $x=-1/y$ e sostituiscilo nelle altre due equazioni, che formano quindi un sistema di due equazioni in due incognite
Dall'equazione $x^2y^2=1$ ricava $x=1/y$ e $x=-1/y$ e sostituiscilo nelle altre due equazioni, che formano quindi un sistema di due equazioni in due incognite
Non a caso ho diviso il post in due parti, parte teorica e parte pratica, come non a caso gli esami si dividono solitamente in parte teorica e parte pratica. Detto questo il docente ci ha fortemente sconsigliato di portare variabili al denominatore perché questo avrebbe implicato porre condizioni di non nullità e via discorrendo.
Se $x^2y^2=1$ allora x e y non possono essere nulli, quindi non c'è nessun problema a portarne uno al denominatore
Nonostante il tuo consiglio sono in confusione. Se $ x=1/y->{ ( 4y^2+1+2lambda =0 ),( 4y^2+36y+2lambda =0 ):} $ e fin qui ok. Poi da qui niente mi sembro granché sensato. Provando a porre $ 2lambda y+4y=-1->y(2lambda +4)=-1 $ , per $ y=-1->lambda =16 $ , quindi un punto sarebbe (-1,-1,16), mentre per $ 2lambda +4=-1->lambda =-5/2->4y^2+36y-5=0->y=(-18+- sqrt(324+80))/8 $ , che è sbagliato lontano un miglio.
Mi blocco proprio al momento dello svolgimento del sistema...
Provando con un altro esercizio: "determina i punti di min/max vincolato della funzione $ f(x,y)=(x-y)/x-y+1 $ sotto il vincolo $ 2x^2+y^2=6 $ ". Il sistema è $ { ( [y^2-xy-x]/[x-y+1]^2+4lambdax=0 ),( [-1]/[x-y+1]^2+2lambday=0 ),( 2x^2+y^2=6 ):} $ ma da qui il buio.
Il professore l'ha chiamata "manovalanza pura"...Eppure trovo difficoltà
Mi blocco proprio al momento dello svolgimento del sistema...
Provando con un altro esercizio: "determina i punti di min/max vincolato della funzione $ f(x,y)=(x-y)/x-y+1 $ sotto il vincolo $ 2x^2+y^2=6 $ ". Il sistema è $ { ( [y^2-xy-x]/[x-y+1]^2+4lambdax=0 ),( [-1]/[x-y+1]^2+2lambday=0 ),( 2x^2+y^2=6 ):} $ ma da qui il buio.
Il professore l'ha chiamata "manovalanza pura"...Eppure trovo difficoltà
Se x=1/y allora le due equazioni diventano:
$4y+1+2lamday=0$
$4/y+36+2lamda/y=0$ $->$ $4+36y+2lamda=0$
Dalla seconda equazione ti ricavi lamda in funzione di y e lo sostituisci nella prima ottenendo una equazione di secondo grado in y.
$4y+1+2lamday=0$
$4/y+36+2lamda/y=0$ $->$ $4+36y+2lamda=0$
Dalla seconda equazione ti ricavi lamda in funzione di y e lo sostituisci nella prima ottenendo una equazione di secondo grado in y.
Riprendo questo post dopo un po' di tempo. Grazie a Vulplasir per le dritte, mi sono esercitato un po' e comincio ad ingranare nello svolgimento ma ci sono ancora esercizi che mi creano problemi. Tipo questo:
$ f(x,y)=(x-y)/(x-y+1) $ e vincolo $ g(x,y)=2x^2+y^2=6 $
1) Insieme di definizione: $ ((x,y)in R^2:x-y+1!= 0)=((x,y)in R^2:x=y-1)=R^2-(x=y-1) $
2) $ grad f(x,y)=[ ( 1/(x-y+1)^2 ),( 1/(x-y+1)^2 ) ] $ ; $ grad g(x,y)=[ ( 4x ),( 2y ) ] $
3) Sistema: $ { ( 1/((x-y+1)^2)+4lambdax=0 ),( 1/((x-y+1)^2)+2lambday=0 ),( 2x^2+y^2=6 ):} $
Sottraggo la seconda equazione dalla prima e ottengo $ 4lambda x-2lambda y=0->2lambda (2x-y)=0 $ . Quindi sorgono i problemi:
- nel caso $ lambda =0 $ viene un sistema con due equazioni identiche, e ciò dovrebbe lasciar pensare a infinite soluzioni (e quindi infiniti punti stazionari)?
- nel caso $ 2x-y=0->y=2x $ ottengo $ 2x^2+4x^2=6->x=+- 1 $ , ma se x=1 rimane $ 1/(1-2+1)+... $ il che sottende probabilmente un errore.
Qualcuno sa come andare avanti?
$ f(x,y)=(x-y)/(x-y+1) $ e vincolo $ g(x,y)=2x^2+y^2=6 $
1) Insieme di definizione: $ ((x,y)in R^2:x-y+1!= 0)=((x,y)in R^2:x=y-1)=R^2-(x=y-1) $
2) $ grad f(x,y)=[ ( 1/(x-y+1)^2 ),( 1/(x-y+1)^2 ) ] $ ; $ grad g(x,y)=[ ( 4x ),( 2y ) ] $
3) Sistema: $ { ( 1/((x-y+1)^2)+4lambdax=0 ),( 1/((x-y+1)^2)+2lambday=0 ),( 2x^2+y^2=6 ):} $
Sottraggo la seconda equazione dalla prima e ottengo $ 4lambda x-2lambda y=0->2lambda (2x-y)=0 $ . Quindi sorgono i problemi:
- nel caso $ lambda =0 $ viene un sistema con due equazioni identiche, e ciò dovrebbe lasciar pensare a infinite soluzioni (e quindi infiniti punti stazionari)?
- nel caso $ 2x-y=0->y=2x $ ottengo $ 2x^2+4x^2=6->x=+- 1 $ , ma se x=1 rimane $ 1/(1-2+1)+... $ il che sottende probabilmente un errore.
Qualcuno sa come andare avanti?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo