Massimi e minimi vincolati

[Cenzin1]

Salve a tutti, spero di non aver sbagliato sezione. Sto preparando analisi 2 e ho due problemi: il primo riguarda lo studio di massimi e minimi in più variabili con Hessiano nullo (sono d'accordo che non si può dire niente ma credo ci sia un metodo per la risoluzione che io non riesco a trovare. Potete farmi un esempio?); il secondo invece riguarda massimi e minimi vincolati, ci sono così tanti metodi che non riesco a capire quale utilizzare e quando utilizzarlo. Anche nell'ultimo caso avete esempi? Ringrazio anticipatamente.

[Zero87]

Per il secondo problema passo, funzioni vincolate sono cose che mi sono state sempre ostiche. Per il primo

"Cenzin":Salve a tutti, spero di non aver sbagliato sezione. Sto preparando analisi 2 e ho due problemi: il primo riguarda lo studio di massimi e minimi in più variabili con Hessiano nullo (sono d'accordo che non si può dire niente ma credo ci sia un metodo per la risoluzione che io non riesco a trovare. Potete farmi un esempio?)

oltre a proporti questo thread
viewtopic.php?p=801428#p801428
ti propongo di postare qualche esempio, ricordando - come metodo (non standardissimo) - che in genere ci si prova sempre a prendere un paio di direzioni diverse per vedere il comportamento delle restrizioni a queste.

[Cenzin1]

Mi fa piacere sapere che non sono solo! Un esempio è questo: log(1+x^2y^2). La matrice Hessiana risulta nulla in (0,0). Come posso procedere qui? Ti ringrazio per la disponibilitá.

[Rigel1]

"Cenzin":Un esempio è questo: log(1+x^2y^2). La matrice Hessiana risulta nulla in (0,0). Come posso procedere qui?

Questo esempio non richiede particolari analisi.
Poiché \(x^2 y^2\geq 0\) per ogni \((x,y)\), e poiché il logaritmo è una funzione strettamente crescente nel suo dominio, posto \(f(x,y) = \log (1+x^2y^2)\) avrai che
\[
0 = f(0,0) = \log 1 \leq \log(1+x^2y^2)\qquad \forall (x,y)\in\mathbb{R}^2.
\]
Da qui segue immediatamente che l'origine è un punto di minimo assoluto; con lo stesso ragionamento vedi che tutti i punti degli assi coordinati sono punti di minimo assoluto per \(f\).