Massimi e minimi vincolati
Nel risolvere il sistema c'è sempre qualche ipotesi che non faccio, per vari motivi che esclude la possibilità di trovare un punto critico. In genere c'è una linea guida da seguire?
Risposte
smaug, le tue domande sono sempre un po' sibilline: ma postare un esempio relativo ai problemi che incontri costa troppo? Non lo dico in tono di rimprovero, anzi: però ti rendi conto che una domanda come l'hai formulata tende ad essere un tantinello vaga.
Ho trovato qualche difficoltà in questo:
$f (x,y,z)= x^2 - z^2$ l'insieme è $ S = x^2 + y^2 + z^2 <= 1 $
Prima volevo chiedere:
1) Il vincolo è regolare se i punti che annullano il suo gradiente non appartengono al bordo di $S$?
2) $S$ è compatto quando è chiuso e limitato, ma non mi è chiarissimo, purtroppo come si verifica ciò.
${(x = \lambda\ x),(0 = \lambda\ y ),(-z = \lambda\ z),(x^2 + y^2 + z^2 = 1):}$
non riesco di solito a trovare tutto ciò che potrei in sistemi del genere, mi aiutate?
$f (x,y,z)= x^2 - z^2$ l'insieme è $ S = x^2 + y^2 + z^2 <= 1 $
Prima volevo chiedere:
1) Il vincolo è regolare se i punti che annullano il suo gradiente non appartengono al bordo di $S$?
2) $S$ è compatto quando è chiuso e limitato, ma non mi è chiarissimo, purtroppo come si verifica ciò.
${(x = \lambda\ x),(0 = \lambda\ y ),(-z = \lambda\ z),(x^2 + y^2 + z^2 = 1):}$
non riesco di solito a trovare tutto ciò che potrei in sistemi del genere, mi aiutate?
1) un vincolo è regolare se è una curva (superficie, solido, ecc, a seconda di quante dimensioni consideri) regolare. Ovvero se non ha punti singolari, cioè punti per cui $\nabla g_i=0$, essendo $g_i=0,\ i=1,...,n$ le equazioni del vincolo.
2) Un insieme limitato è sempre contenuto in una sfera $B(0,R)$ di centro l'origine e raggio $R>0$ finito. E' chiuso quando contiene la sua frontiera. In generale se il vincolo è fornito nella forma $g\le 0$ è sempre chiuso e limitato.
3) Per risolvere questo problema, devi separarlo in due casi:
CASO a) analizzare cosa avviene all'interno di $S$ (cioè quando $x^2+y^2+z^2<1$) usando il classico metodo gradiente-Hessiana
CASO b) restringerti alla frontiera di $S$ ($x^2+y^2+z^2=1$) che è una sfera e applicare i moltiplicatori di Lagrange o altri metodi noti.
CASO a) Abbiamo $\nabla f=(2x,0,-2z)$ quindi l'unico punto stazionario è $(0,0,0)$. Tuttavia l'Hessiana risulta nulla in tale punto. Per capire cosa accade alla funzione, osserva che se fissi una direzione nel piano $xOz$ data dalle equazioni
$z=mx,\ y=a,\ m,a\in RR$
allora si ha $f(x,mx)=x^2(1-m^2)$. Come vedi subito, a seconda della scelta di $m$ la funzione cambia segno, pertanto in essa non può esserci né un massimo né un minimo.
CASO b) La lagrangiana è $L(x,y,z,\lambda)=x^2-z^2-\lambda(x^2+y^2+z^2-1)$ pertanto si ha
$2x(1-\lambda)=0,\quad -2\lambda y=0,\quad -2z(1+\lambda)=0,\quad x^2+y^2+z^2-1=0$
Partiamo dalla prima equazione, che ha soluzioni $x=0$ oppure $\lambda=1$:
1) se $x=0$ allora $\lambda y=0,\ 2z(\lambda+1)=0,\ y^2+z^2-1=0$ e pertanto
1a) se $\lambda=0$ allora deve essere $z=0$ e $y=\pm 1$
1b) se $y=0$ allora deve essere $z=\pm 1$ e quindi $\lambda=-1$
2) se $\lambda=1$ allora $y=0$ e $z=0$, e $x=\pm 1$.
Ne segue che gli unici punti accettabili sono $(0,\pm 1, 0)$ con $\lambda=0$, $(0,0,\pm 1)$ con $\lambda=-1$, oppure $(\pm 1, 0, 0)$ con $\lambda=1$.
Ora a te capire se sono massimi o minimi.
EDIT: corretto il punto 2), avevo fatto male i conti.
2) Un insieme limitato è sempre contenuto in una sfera $B(0,R)$ di centro l'origine e raggio $R>0$ finito. E' chiuso quando contiene la sua frontiera. In generale se il vincolo è fornito nella forma $g\le 0$ è sempre chiuso e limitato.
3) Per risolvere questo problema, devi separarlo in due casi:
CASO a) analizzare cosa avviene all'interno di $S$ (cioè quando $x^2+y^2+z^2<1$) usando il classico metodo gradiente-Hessiana
CASO b) restringerti alla frontiera di $S$ ($x^2+y^2+z^2=1$) che è una sfera e applicare i moltiplicatori di Lagrange o altri metodi noti.
CASO a) Abbiamo $\nabla f=(2x,0,-2z)$ quindi l'unico punto stazionario è $(0,0,0)$. Tuttavia l'Hessiana risulta nulla in tale punto. Per capire cosa accade alla funzione, osserva che se fissi una direzione nel piano $xOz$ data dalle equazioni
$z=mx,\ y=a,\ m,a\in RR$
allora si ha $f(x,mx)=x^2(1-m^2)$. Come vedi subito, a seconda della scelta di $m$ la funzione cambia segno, pertanto in essa non può esserci né un massimo né un minimo.
CASO b) La lagrangiana è $L(x,y,z,\lambda)=x^2-z^2-\lambda(x^2+y^2+z^2-1)$ pertanto si ha
$2x(1-\lambda)=0,\quad -2\lambda y=0,\quad -2z(1+\lambda)=0,\quad x^2+y^2+z^2-1=0$
Partiamo dalla prima equazione, che ha soluzioni $x=0$ oppure $\lambda=1$:
1) se $x=0$ allora $\lambda y=0,\ 2z(\lambda+1)=0,\ y^2+z^2-1=0$ e pertanto
1a) se $\lambda=0$ allora deve essere $z=0$ e $y=\pm 1$
1b) se $y=0$ allora deve essere $z=\pm 1$ e quindi $\lambda=-1$
2) se $\lambda=1$ allora $y=0$ e $z=0$, e $x=\pm 1$.
Ne segue che gli unici punti accettabili sono $(0,\pm 1, 0)$ con $\lambda=0$, $(0,0,\pm 1)$ con $\lambda=-1$, oppure $(\pm 1, 0, 0)$ con $\lambda=1$.
Ora a te capire se sono massimi o minimi.
EDIT: corretto il punto 2), avevo fatto male i conti.
A me veniva anche questo come punto $(0,\pm 1, 0)$ ma lì la funzione vale zero. Il massimo è $(\pm 1,0,0)$ l'altro è il minimo cioè $(0,0,\pm 1)$
grazie mille
Esatto.
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