Massimi e minimi vincolanti
buonasera a tutti, sono alle prese con questo esercizio
devo calcolare massimi e minimi di
$ f(x,y)= (-x^2+5xy-3x)^4 $
$ D={x^2-y<=x} $
essendo un insieme chiuso e limitato, per weierstrass la funzione ha max e min assoluti
mi calcolo le derivate parziali, ne le metto in sistema e le pongo uguale a zero
$ { ( (df)/dx=4(-x^2+5xy-3x)^3 (-2x+5y-3)=0 ),( (df)/dy=4(-x^2+5xy-3x)^3 5x=0 ):} $
arrivato a questo punto, posso per ogni equazione, se uno dei 2 membri è 0 sarà uguale a 0
purtroppo qui mi sopraggiungono i dubbi, riesco ad uscirmene con questo ragionamento
il primo membro della derivata rispetto ad x sarà uguale a 0 solo se x=0
nel secondo membro $ -2x+5y=3 $ questo accade solo se $ y=(2x+3)/5 $ quindi se x=0, y=3/5
quindi il punto che trovo sarà $ P(0,3/5) $
la seconda equazione sarà uguale solo nel punto P(0,0)
(qui arriva il dubbio, devo per forza fare l'hessiano o posso cercare direttamente i valori della funzione e paragonarla con i punti che troverò successivamente? io voto per la seconda)
ora mi sposto sulla frontiera
uso il metodo elementare, cioè sostituisco direttamente y
anche qui purtroppo non so come muovermi bene, non riesco a capire se quella disequazione è una parabola o una circonferenza, un'ellisse non lo è di sicuro
provo ad usare i moltiplicatori di lagrange
$ { ( (df)/dx=4(-x^2+5xy-3x)^3 (-2x+5y-3)-2lambdax+lambda=0 ),( (df)/dy=4(-x^2+5xy-3x)^3 5x+lambda=0 ),( (df)/(dlambda)=-x^2+y+x=0 ):} $
mi ritrovo un sistema assai complicato da risolvere, motivo per cui vorrei procedere col metodo elementare
devo capire come trattare il vincolo ed esplicitarlo in y in modo da infilarlo dentro la funzione
mi basta avere indicazione su questo, il resto dell'esercizio lo so fare
grazie a chiunque mi risponda
devo calcolare massimi e minimi di
$ f(x,y)= (-x^2+5xy-3x)^4 $
$ D={x^2-y<=x} $
essendo un insieme chiuso e limitato, per weierstrass la funzione ha max e min assoluti
mi calcolo le derivate parziali, ne le metto in sistema e le pongo uguale a zero
$ { ( (df)/dx=4(-x^2+5xy-3x)^3 (-2x+5y-3)=0 ),( (df)/dy=4(-x^2+5xy-3x)^3 5x=0 ):} $
arrivato a questo punto, posso per ogni equazione, se uno dei 2 membri è 0 sarà uguale a 0
purtroppo qui mi sopraggiungono i dubbi, riesco ad uscirmene con questo ragionamento
il primo membro della derivata rispetto ad x sarà uguale a 0 solo se x=0
nel secondo membro $ -2x+5y=3 $ questo accade solo se $ y=(2x+3)/5 $ quindi se x=0, y=3/5
quindi il punto che trovo sarà $ P(0,3/5) $
la seconda equazione sarà uguale solo nel punto P(0,0)
(qui arriva il dubbio, devo per forza fare l'hessiano o posso cercare direttamente i valori della funzione e paragonarla con i punti che troverò successivamente? io voto per la seconda)
ora mi sposto sulla frontiera
uso il metodo elementare, cioè sostituisco direttamente y
anche qui purtroppo non so come muovermi bene, non riesco a capire se quella disequazione è una parabola o una circonferenza, un'ellisse non lo è di sicuro
provo ad usare i moltiplicatori di lagrange
$ { ( (df)/dx=4(-x^2+5xy-3x)^3 (-2x+5y-3)-2lambdax+lambda=0 ),( (df)/dy=4(-x^2+5xy-3x)^3 5x+lambda=0 ),( (df)/(dlambda)=-x^2+y+x=0 ):} $
mi ritrovo un sistema assai complicato da risolvere, motivo per cui vorrei procedere col metodo elementare
devo capire come trattare il vincolo ed esplicitarlo in y in modo da infilarlo dentro la funzione
mi basta avere indicazione su questo, il resto dell'esercizio lo so fare
grazie a chiunque mi risponda
Risposte
Sei sicuro che l'insieme sia chiuso e limitato?
Controlla bene le derivate parziali che hai calcolato
Cos'è geometricamente l'insieme $y>=x^2-x$?, in particolare che curva è quella determinata da $y=x^2-x$?
Controlla bene le derivate parziali che hai calcolato
Cos'è geometricamente l'insieme $y>=x^2-x$?, in particolare che curva è quella determinata da $y=x^2-x$?
effettivamente ho detto una cavolata, la tarda ora ha dato il suo contributo
l'insieme non è chiuso e limitato, è aperto
la curva dovrebbe essere una parabola "rivolta verso l'alto", e l'insieme considerato è la parte "interna"
quindi significa che dovrei fare l'hessiano per determinare se quel punto è di max min o sella
e tutta la trafila del metodo elementare e di lagrange non serve una pippa
giusto?
l'insieme non è chiuso e limitato, è aperto
la curva dovrebbe essere una parabola "rivolta verso l'alto", e l'insieme considerato è la parte "interna"
quindi significa che dovrei fare l'hessiano per determinare se quel punto è di max min o sella
e tutta la trafila del metodo elementare e di lagrange non serve una pippa
giusto?
L'insieme non è aperto, è illimitato ma non aperto dato che non c'è una disuguaglianza stretta: $y>=x^2-x$, quindi devi dividere questa regione in due parti:
Una regione aperta: $y>x^2-x$ in cui per trovare i massimi o minimi annulli il gradiente
La frontiera: $y=x^2-x$ in cui per trovare i massimi o minimi utilizzi lagrange oppure più semplicemente sostituisci y=x^2-x nella tua funzione e calcoli i massimi/minimi di una funzione in una sola variabile.
Una regione aperta: $y>x^2-x$ in cui per trovare i massimi o minimi annulli il gradiente
La frontiera: $y=x^2-x$ in cui per trovare i massimi o minimi utilizzi lagrange oppure più semplicemente sostituisci y=x^2-x nella tua funzione e calcoli i massimi/minimi di una funzione in una sola variabile.
ok, quindi il gradiente l'ho già trovato, col calcolatore online mi esce una soluzione impossibile
la frontiera
sostituisco y alla funzione, calcolo la derivata prima e la pongo uguale a 0
ho 5 soluzioni
$ x=0 $
$ x=(3+-2sqrt(6))/5 $
$ x=1/5 $
$ X=1 $
non sono convinto della seconda e terza soluzione
la frontiera
sostituisco y alla funzione, calcolo la derivata prima e la pongo uguale a 0
ho 5 soluzioni
$ x=0 $
$ x=(3+-2sqrt(6))/5 $
$ x=1/5 $
$ X=1 $
non sono convinto della seconda e terza soluzione
salve, allora nonostante abbia usato il calcolatore non sono convinto della soluzione del sistema
sono 2 equazioni in cui, se uno dei 2 membri è uguale a 0, tutta l'equazione sarà uguale a 0
detto questo la seconda equazione si risolve semplicemente, 5x=0 quando x=0
sostituisco la x nell'equazione di sopra, e mi esce che y=3/5, ma in realtà basta che x sia uguale a 0 per qualsiasi y affinché il sistema si azzeri
per quanto riguarda la frontiera
ho sostituito $ x^2-x $ nella y e mi esce $ (5x^3-6x^2-3x)^4 $
derivata prima $ 4(5x^3-6x^2-3x)^3 (15x^2-12x-3) $
quindi
$ 4x^3(5x^2-6x-3)^3=0 $
$ 5x^2-6x-3=0, x_(1,2)=(3+-2sqrt(6))/5 $
$ x_3=0 $
$ 15x^2-12x-3=0, x_4=-1/5, x_5=1 $
da qui sostituisco la x nel vincolo ricavandomi y, e poi sostituisco i valori nella funzione, è tutto calcolo
queste sono le soluzioni che ho trovato
sono titubante sulla prima parte
attendo chiarimenti, grazie
sono 2 equazioni in cui, se uno dei 2 membri è uguale a 0, tutta l'equazione sarà uguale a 0
detto questo la seconda equazione si risolve semplicemente, 5x=0 quando x=0
sostituisco la x nell'equazione di sopra, e mi esce che y=3/5, ma in realtà basta che x sia uguale a 0 per qualsiasi y affinché il sistema si azzeri
per quanto riguarda la frontiera
ho sostituito $ x^2-x $ nella y e mi esce $ (5x^3-6x^2-3x)^4 $
derivata prima $ 4(5x^3-6x^2-3x)^3 (15x^2-12x-3) $
quindi
$ 4x^3(5x^2-6x-3)^3=0 $
$ 5x^2-6x-3=0, x_(1,2)=(3+-2sqrt(6))/5 $
$ x_3=0 $
$ 15x^2-12x-3=0, x_4=-1/5, x_5=1 $
da qui sostituisco la x nel vincolo ricavandomi y, e poi sostituisco i valori nella funzione, è tutto calcolo
queste sono le soluzioni che ho trovato
sono titubante sulla prima parte
attendo chiarimenti, grazie
Se x=0 allora le derivate parziali sono entrambe nulla per ogni y, sostituendo x=0 nella funzione ti viene $f(0,y)=0$ per ogni y
"Vulplasir":
Se x=0 allora le derivate parziali sono entrambe nulla per ogni y, sostituendo x=0 nella funzione ti viene $f(0,y)=0$ per ogni y
x=0 perché semplicemente la seconda equazione si annulla se 5x=0
ok, quello che avevo accennato io, quindi tecnicamente il sistema è impossibile
Se per x=0 le derivate parziali si annullano entrambe allora il sistema ha soluzione, quindi non è impossibile
ok
esistono altri valori di x per cui il gradiente si annulla?
esistono altri valori di x per cui il gradiente si annulla?
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