Massimi e minimi su una corona circolare
Ciao, avrei un dubbio su un esercizio. Il testo sarebbe:
"Calcolare i massimi e minimi della funzione f(x,y)=2xy E^-(x^2+y^2) nella corona circolare di centro l'origine e raggi 1 e 1/2".
Il mio dubbio sarebbe nel fatto che non so se calcolare prima i max e min interni con il metodo del gradiente-hessiano senza passare alle coordinate polari, oppure se devo subito operare il cambio di variabili e dopo calcolare i max e min sul vincolo.
"Calcolare i massimi e minimi della funzione f(x,y)=2xy E^-(x^2+y^2) nella corona circolare di centro l'origine e raggi 1 e 1/2".
Il mio dubbio sarebbe nel fatto che non so se calcolare prima i max e min interni con il metodo del gradiente-hessiano senza passare alle coordinate polari, oppure se devo subito operare il cambio di variabili e dopo calcolare i max e min sul vincolo.
Risposte
facendo due conti rapidissimi, il gradiente non si annulla mai all'interno del dominio
Consideriamo la funzione e l'insieme
\[f(x;y):= 2xye^{-(x^2+y^2)},\qquad C:=\{(x;y)\in\mathbb{R}^2: \frac{1}{4}\le x^2+y^2\le 1\},\]
e calcoliamo, se esistono il
\[\min_{C}f,\qquad\max_{C}f.\]
Quello che si può inizialmente osservare è che la funzione $f\in C^{\infty}(\RR^2)$ e che l'insieme $C$ è compatto, cioè chiuso e limitato, e dunque per il teorema di Weierrstrass $f$ ammette massimi e minimi assoluti su $C;$ tali punti vanno ricercati tra i punti interni a $C$ che annullano il grediente di $f$ e sulla frontiera $C.$ Calcolando e annullando il gradiente, si ha
\begin{align}
\nabla\left(2y(1-2x^2)e^{-(x^2+y^2)};2x(1-2y^2)e^{-(x^2+y^2)}\right)=0\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases}2y(1-2x^2)&=0\\2x(1-2y^2)&=0\end{cases}
\end{align}
da cui risolvendo si trovano i punti
\[O(0;0),\quad A \left(\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}\right)\quad B\left(-\frac{\sqrt2}{2};-\frac{\sqrt2}{2}\right);\]
evidentemtente l'origine non è interna all'insieme $C,$ mentre i punti $A$ e $B$ si trovano sulla frontiera, in particolare si trovano sulla circoferenza $x^2+y^2=1.$ In definitiva il gradiente non si annulla mai all'interno dell'insieme $C.$ Allora la ricerca dei punti di massimo e minimo, esistenza garantita dal teorema di Weierstrass, si troveranno necessariamente sulla frontiera $C.$ Allora, considerando la circonferenza $\Gamma_1:= \x^2+y^2-1/4 ,$ e ponendo:
\begin{align}
\begin{cases}
x&=\frac{1}{2}\cos t\\
y&=\frac{1}{2}\sin t
\end{cases},\qquad t\in[0;2\pi),
\end{align}
si ottiene la funzione di una variabile
\begin{align}
h(t):=f(1/2\cos t;1/2\sin t)&= \frac{1}{2}\sin t\cos t e^{-1/4}=\frac{ e^{-1/4}}{4}\sin 2t\\
h'(t)&=\frac{ e^{-1/4}}{2} \cos 2t \ge0\quad\Leftrightarrow\quad k\pi-\pi/4\le t\le k\pi+\pi/4;
\end{align}
quindi la funzione $h(t)$ ha tre minimi nei punti $t=0,t=(3\pi)/4,t=(7\pi)/4$ due massimi in $t= \pi /4,t= (5\pi) /4;$ allora la funzione di due variabili $f(x;y)$ sulla frontiera $\Gamma_1$ avrà:
\begin{align}
t=0: \quad&\begin{cases} x&=\frac{1}{2}\cos (0)=\frac{1}{2}\\y&=\frac{1}{2}\sin (0)=0\end{cases}\,\,\, \Rightarrow\,\,\,m_1\left(\frac{1}{2};0\right)\,\,\, \Rightarrow\,\,\,f\left(\frac{1}{2};0\right)=0\\\\
t=\frac{\pi}{4}: \quad &\begin{cases} x&=\frac{1}{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt 2}{4}\\ y&=\frac{1}{2}\sin \left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt 2}{4}\end{cases}\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,M_1\left(\frac{\sqrt 2}{4};\frac{\sqrt 2}{4}\right)\,\,\, \Rightarrow\,\,\,f\left(\frac{\sqrt 2}{4};\frac{\sqrt 2}{4}\right)= e^{-1/8} \\\\
t=\frac{3\pi}{4}: \quad& \begin{cases} x&=\frac{1}{2}\cos \left(\frac{3\pi}{4}\right)=\frac{-\sqrt 2}{4}\\y&=\frac{1}{2}\sin \left(\frac{3\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt 2}{4}\end{cases}\,\,\, \Rightarrow\,\,\,m_2\left(-\frac{\sqrt 2}{4};\frac{\sqrt 2}{4}\right)\,\,\, \Rightarrow\,\,\,f\left(-\frac{\sqrt 2}{4};\frac{\sqrt 2}{4}\right)=- e^{-1/8} \\\\
t=\frac{5\pi}{4}: \quad& \begin{cases} x&=\frac{1}{2}\cos \left(\frac{5\pi}{4}\right)=\frac{-\sqrt 2}{4}\\
y&=\frac{1}{2}\sin \left(\frac{5\pi}{4}\right)=\frac{-\sqrt 2}{4}\end{cases}\,\,\, \Rightarrow\,\,\,M_2\left(\frac{-\sqrt 2}{4};\frac{-\sqrt 2}{4}\right)\,\,\, \Rightarrow\,\,\,f\left(\frac{-\sqrt 2}{4};\frac{-\sqrt 2}{4}\right)= e^{-1/8} \\\\
t=\frac{7\pi}{4}: \quad& \begin{cases} x&=\frac{1}{2}\cos \left(\frac{7\pi}{4}\right)= \frac{\sqrt 2}{4}\\y&=\frac{1}{2}\sin \left(\frac{7\pi}{4}\right)=-\frac{-\sqrt 2}{4}\end{cases}\,\,\, \Rightarrow\,\,\,m_3\left(\frac{\sqrt 2}{4};\frac{-\sqrt 2}{4}\right)\,\,\, \Rightarrow\,\,\,f\left(\frac{\sqrt 2}{4};\frac{-\sqrt 2}{4}\right)=- e^{-1/8}
\end{align}
Consideriamo ora la frontiera $\Gamma_2:=x^2+y^2-1$ e ponendo:
\begin{align}
\begin{cases}
x&= \cos t\\
y&= \sin t
\end{cases},\qquad t\in[0;2\pi),
\end{align}
si ottiene la funzione di una variabile
\begin{align}
g(t):=f( \cos t; \sin t)&= 2\sin t\cos t e^{-1/4}=e^{-1/4}\sin 2t\\
g'(t)&=2e^{-1/4} \cos 2t \ge0\quad\Leftrightarrow\quad k\pi-\pi/4\le t\le k\pi+\pi/4;
\end{align}
quindi la funzione $g(t)$ ha tre minimi nei punti $t=0,t=(3\pi)/4,t=(7\pi)/4$ due massimi in $t= \pi /4,t= (5\pi) /4;$ allora la funzione di due variabili $f(x;y)$ sulla frontiera $\Gamma_2$ avrà:
\begin{align}
t=0: \quad&\begin{cases} x&= \cos (0)=1\\y&= \sin (0)=0\end{cases}\,\,\, \Rightarrow\,\,\,m_1\left(1;0\right)\,\,\, \Rightarrow\,\,\,f\left(1;0\right)=0\\\\
t=\frac{\pi}{4}: \quad &\begin{cases} x&= \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt 2}{2}\\ y&= \sin \left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt 2}{2}\end{cases}\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,M_1\left(\frac{\sqrt 2}{2};\frac{\sqrt 2}{2}\right)\,\,\, \Rightarrow\,\,\,f\left(\frac{\sqrt 2}{2};\frac{\sqrt 2}{2}\right)= \frac{1}{e} \\\\
t=\frac{3\pi}{4}: \quad& \begin{cases} x&= \cos \left(\frac{3\pi}{4}\right)=\frac{-\sqrt 2}{2}\\y&= \sin \left(\frac{3\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt 2}{2}\end{cases}\,\,\, \Rightarrow\,\,\,m_2\left(-\frac{\sqrt 2}{2};\frac{\sqrt 2}{2}\right)\,\,\, \Rightarrow\,\,\,f\left(-\frac{\sqrt 2}{2};\frac{\sqrt 2}{2}\right)=-\frac{1 }{e}\\\\
t=\frac{5\pi}{4}: \quad& \begin{cases} x&= \cos \left(\frac{5\pi}{4}\right)=\frac{-\sqrt 2}{2}\\
y&= \sin \left(\frac{5\pi}{4}\right)=\frac{-\sqrt 2}{2}\end{cases}\,\,\, \Rightarrow\,\,\,M_2\left(\frac{-\sqrt 2}{2};\frac{-\sqrt 2}{2}\right)\,\,\, \Rightarrow\,\,\,f\left(\frac{-\sqrt 2}{2};\frac{-\sqrt 2}{2}\right)=\frac{1}{e}\\\\
t=\frac{7\pi}{4}: \quad& \begin{cases} x&= \cos \left(\frac{7\pi}{4}\right)= \frac{\sqrt 2}{2}\\y&= \sin \left(\frac{7\pi}{4}\right)=-\frac{-\sqrt 2}{2}\end{cases}\,\,\, \Rightarrow\,\,\,m_3\left(\frac{\sqrt 2}{2};\frac{-\sqrt 2}{2}\right)\,\,\, \Rightarrow\,\,\,f\left(\frac{\sqrt 2}{2};\frac{-\sqrt 2}{2}\right)=-\frac{1}{e}.
\end{align}
Confrontando i risultati si puà concludere che
\[\min_{C}f=-1/e,\qquad\max_{C}f=1/e.\]
\[f(x;y):= 2xye^{-(x^2+y^2)},\qquad C:=\{(x;y)\in\mathbb{R}^2: \frac{1}{4}\le x^2+y^2\le 1\},\]
e calcoliamo, se esistono il
\[\min_{C}f,\qquad\max_{C}f.\]
Quello che si può inizialmente osservare è che la funzione $f\in C^{\infty}(\RR^2)$ e che l'insieme $C$ è compatto, cioè chiuso e limitato, e dunque per il teorema di Weierrstrass $f$ ammette massimi e minimi assoluti su $C;$ tali punti vanno ricercati tra i punti interni a $C$ che annullano il grediente di $f$ e sulla frontiera $C.$ Calcolando e annullando il gradiente, si ha
\begin{align}
\nabla\left(2y(1-2x^2)e^{-(x^2+y^2)};2x(1-2y^2)e^{-(x^2+y^2)}\right)=0\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases}2y(1-2x^2)&=0\\2x(1-2y^2)&=0\end{cases}
\end{align}
da cui risolvendo si trovano i punti
\[O(0;0),\quad A \left(\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}\right)\quad B\left(-\frac{\sqrt2}{2};-\frac{\sqrt2}{2}\right);\]
evidentemtente l'origine non è interna all'insieme $C,$ mentre i punti $A$ e $B$ si trovano sulla frontiera, in particolare si trovano sulla circoferenza $x^2+y^2=1.$ In definitiva il gradiente non si annulla mai all'interno dell'insieme $C.$ Allora la ricerca dei punti di massimo e minimo, esistenza garantita dal teorema di Weierstrass, si troveranno necessariamente sulla frontiera $C.$ Allora, considerando la circonferenza $\Gamma_1:= \x^2+y^2-1/4 ,$ e ponendo:
\begin{align}
\begin{cases}
x&=\frac{1}{2}\cos t\\
y&=\frac{1}{2}\sin t
\end{cases},\qquad t\in[0;2\pi),
\end{align}
si ottiene la funzione di una variabile
\begin{align}
h(t):=f(1/2\cos t;1/2\sin t)&= \frac{1}{2}\sin t\cos t e^{-1/4}=\frac{ e^{-1/4}}{4}\sin 2t\\
h'(t)&=\frac{ e^{-1/4}}{2} \cos 2t \ge0\quad\Leftrightarrow\quad k\pi-\pi/4\le t\le k\pi+\pi/4;
\end{align}
quindi la funzione $h(t)$ ha tre minimi nei punti $t=0,t=(3\pi)/4,t=(7\pi)/4$ due massimi in $t= \pi /4,t= (5\pi) /4;$ allora la funzione di due variabili $f(x;y)$ sulla frontiera $\Gamma_1$ avrà:
\begin{align}
t=0: \quad&\begin{cases} x&=\frac{1}{2}\cos (0)=\frac{1}{2}\\y&=\frac{1}{2}\sin (0)=0\end{cases}\,\,\, \Rightarrow\,\,\,m_1\left(\frac{1}{2};0\right)\,\,\, \Rightarrow\,\,\,f\left(\frac{1}{2};0\right)=0\\\\
t=\frac{\pi}{4}: \quad &\begin{cases} x&=\frac{1}{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt 2}{4}\\ y&=\frac{1}{2}\sin \left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt 2}{4}\end{cases}\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,M_1\left(\frac{\sqrt 2}{4};\frac{\sqrt 2}{4}\right)\,\,\, \Rightarrow\,\,\,f\left(\frac{\sqrt 2}{4};\frac{\sqrt 2}{4}\right)= e^{-1/8} \\\\
t=\frac{3\pi}{4}: \quad& \begin{cases} x&=\frac{1}{2}\cos \left(\frac{3\pi}{4}\right)=\frac{-\sqrt 2}{4}\\y&=\frac{1}{2}\sin \left(\frac{3\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt 2}{4}\end{cases}\,\,\, \Rightarrow\,\,\,m_2\left(-\frac{\sqrt 2}{4};\frac{\sqrt 2}{4}\right)\,\,\, \Rightarrow\,\,\,f\left(-\frac{\sqrt 2}{4};\frac{\sqrt 2}{4}\right)=- e^{-1/8} \\\\
t=\frac{5\pi}{4}: \quad& \begin{cases} x&=\frac{1}{2}\cos \left(\frac{5\pi}{4}\right)=\frac{-\sqrt 2}{4}\\
y&=\frac{1}{2}\sin \left(\frac{5\pi}{4}\right)=\frac{-\sqrt 2}{4}\end{cases}\,\,\, \Rightarrow\,\,\,M_2\left(\frac{-\sqrt 2}{4};\frac{-\sqrt 2}{4}\right)\,\,\, \Rightarrow\,\,\,f\left(\frac{-\sqrt 2}{4};\frac{-\sqrt 2}{4}\right)= e^{-1/8} \\\\
t=\frac{7\pi}{4}: \quad& \begin{cases} x&=\frac{1}{2}\cos \left(\frac{7\pi}{4}\right)= \frac{\sqrt 2}{4}\\y&=\frac{1}{2}\sin \left(\frac{7\pi}{4}\right)=-\frac{-\sqrt 2}{4}\end{cases}\,\,\, \Rightarrow\,\,\,m_3\left(\frac{\sqrt 2}{4};\frac{-\sqrt 2}{4}\right)\,\,\, \Rightarrow\,\,\,f\left(\frac{\sqrt 2}{4};\frac{-\sqrt 2}{4}\right)=- e^{-1/8}
\end{align}
Consideriamo ora la frontiera $\Gamma_2:=x^2+y^2-1$ e ponendo:
\begin{align}
\begin{cases}
x&= \cos t\\
y&= \sin t
\end{cases},\qquad t\in[0;2\pi),
\end{align}
si ottiene la funzione di una variabile
\begin{align}
g(t):=f( \cos t; \sin t)&= 2\sin t\cos t e^{-1/4}=e^{-1/4}\sin 2t\\
g'(t)&=2e^{-1/4} \cos 2t \ge0\quad\Leftrightarrow\quad k\pi-\pi/4\le t\le k\pi+\pi/4;
\end{align}
quindi la funzione $g(t)$ ha tre minimi nei punti $t=0,t=(3\pi)/4,t=(7\pi)/4$ due massimi in $t= \pi /4,t= (5\pi) /4;$ allora la funzione di due variabili $f(x;y)$ sulla frontiera $\Gamma_2$ avrà:
\begin{align}
t=0: \quad&\begin{cases} x&= \cos (0)=1\\y&= \sin (0)=0\end{cases}\,\,\, \Rightarrow\,\,\,m_1\left(1;0\right)\,\,\, \Rightarrow\,\,\,f\left(1;0\right)=0\\\\
t=\frac{\pi}{4}: \quad &\begin{cases} x&= \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt 2}{2}\\ y&= \sin \left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt 2}{2}\end{cases}\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,M_1\left(\frac{\sqrt 2}{2};\frac{\sqrt 2}{2}\right)\,\,\, \Rightarrow\,\,\,f\left(\frac{\sqrt 2}{2};\frac{\sqrt 2}{2}\right)= \frac{1}{e} \\\\
t=\frac{3\pi}{4}: \quad& \begin{cases} x&= \cos \left(\frac{3\pi}{4}\right)=\frac{-\sqrt 2}{2}\\y&= \sin \left(\frac{3\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt 2}{2}\end{cases}\,\,\, \Rightarrow\,\,\,m_2\left(-\frac{\sqrt 2}{2};\frac{\sqrt 2}{2}\right)\,\,\, \Rightarrow\,\,\,f\left(-\frac{\sqrt 2}{2};\frac{\sqrt 2}{2}\right)=-\frac{1 }{e}\\\\
t=\frac{5\pi}{4}: \quad& \begin{cases} x&= \cos \left(\frac{5\pi}{4}\right)=\frac{-\sqrt 2}{2}\\
y&= \sin \left(\frac{5\pi}{4}\right)=\frac{-\sqrt 2}{2}\end{cases}\,\,\, \Rightarrow\,\,\,M_2\left(\frac{-\sqrt 2}{2};\frac{-\sqrt 2}{2}\right)\,\,\, \Rightarrow\,\,\,f\left(\frac{-\sqrt 2}{2};\frac{-\sqrt 2}{2}\right)=\frac{1}{e}\\\\
t=\frac{7\pi}{4}: \quad& \begin{cases} x&= \cos \left(\frac{7\pi}{4}\right)= \frac{\sqrt 2}{2}\\y&= \sin \left(\frac{7\pi}{4}\right)=-\frac{-\sqrt 2}{2}\end{cases}\,\,\, \Rightarrow\,\,\,m_3\left(\frac{\sqrt 2}{2};\frac{-\sqrt 2}{2}\right)\,\,\, \Rightarrow\,\,\,f\left(\frac{\sqrt 2}{2};\frac{-\sqrt 2}{2}\right)=-\frac{1}{e}.
\end{align}
Confrontando i risultati si puà concludere che
\[\min_{C}f=-1/e,\qquad\max_{C}f=1/e.\]
Buongiorno , gentilmente posso sapere come hai fatto dopo che hai fatto la prima derivata -h'(t)- ,dove ti sono usciti i minimi $ t=0,t=(3\pi)/4,t=(7\pi)/4 $?? e in più i massimi ? Non riesco a capire , grazie mille
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