Massimi e minimi su un vincolo

[Genny_it]

Ragazzi, buonasera, mi trovo alle prese con questo esercizio, ma non so se sto precedendo nel modo giusto:
Determinare massimo e minimo della funzione:
$f(x,y)=(x+y)^3/3$
sul vincolo compatto $x^2/2+xy+y^2=2$;

Procedo in questo modo:
Consideriamo la funzione lagrangiana $zeta(x,y,lambda)=(x+y)^3/3-lambda(x^2/2+4y^2-1)$ dove $f_x=(x+y)^2$ ed $f_y=(x+y)^2$

$g_x=x+y$ ed $g_y=x+2y$
Imposto il sistema:
${ ( (x+y)^2-lambda(x+y)=0 ),( (x+y)^2-lambda(x+2y)=0 ),( x^2/2+xy+y^2=2 ):} $
da cui
${ ( (x+y)^2=lambda(x+y) ),( (x+y)^2-lambda(x+2y)=0 ),( x^2+2xy+2y^2=4 ):} => -lambday=0 => lambda=0$ ed $y=0$
Allora se $lambda=0$
${ ( x^2+2xy+y^2=0 ),( lambda=0 ),( x^2+2xy+2y^2=4 ):} => { (x^2+2xy=-y^2 ),( lambda=0 ),(y^2=4 ):} => y_1=-2$ ed $y_2=2$

Adesso $lambda=0$ e $y_2=2$ ottengo:
$x^2+4x+4=0 => x=(-4+-sqrt(16-16))/2=-2$ ottengo il punto $A=(-2,2,0)$

mentre $lambda=0$ e $y_1=-2$ ottengo:
$x^2-4x+4=0 => x=(-4+-sqrt(16-16))/2=2$ ottengo il punto $B=(2,2,0)$

Poi:
$y=0$ ottengo:
${ (x^2-lambdax=0 ),( y=0 ),(x^2+2xy+2y^2=4 ):} =>x(x-lambda)=0 => x_1=0 $ ed $x_2=lambda$ quindi:

se $x_1=0$ e $y=0$ ottengo $C=(0,0,0)$

mentre se $y=0$ e $x=lambda$ ottengo:
${ (x=lambda),( y=0 ),(x^2=4 ):}=> x_1=-2$ ed $x_2=2$ e quindi ho $D=(-2,0,-2)$ ed $E=(2,0,2)$

adesso trovati i punti critici, verifico se sono di minimo o di massimo.
Il vincolo è un ellisse (insieme compatto) e la funzione $f(x,y)$ è continua, quindi per il teorema di Weierstrass essa ammette massimo e minimo assoluto sul vincolo considerato.
Per vedere di che natura sono i punti critici sostituisco nella funzione di partenza i punti trovati:
$f(A)=0$; $f(B)=64/3$; $f(C)=0$; $f(D)=-8/3$; $f(E)=8/3$
quindi il valore più grande è massimo($f(B)=64/3$) ed il più piccolo ($f(D)=-8/3$) minimo;

Principalmente volevo chiedere: è giusto procedere in questo modo? Se si ho commesso errori?
P.s. ho usato questo simbolo ($zeta$) per indicare la funzione lagrangiana poichè non trovo il simbolo che usa il mio libro

[MrMojoRisin891]

Non mi sono soffermato sull'effettiva risoluzione algebrica del sistema della lagrangiana, ma il metodo è quasi quello corretto.
Quasi perché prima di procedere al calcolo dei punti stazionari vincolati (quelli della lagrangiana) dovresti cercare i punti stazionari liberi, cioè vedere dove si annulla il gradiente della funzione. In questo caso non è un problema perché il punto dove si annulla il gradiente (cioè l'origine) è un punto stazionario vincolato, quindi anche se non te lo sei calcolato ti è uscito dopo.
Ma concettualmente, prima di procedere al calcolo della lagrangiana, vedi dove si annulla il gradiente.

[gugo82]

Forse le cose si semplificano un pochino facendo un cambiamento di variabile.

Dato che il vincolo si riscrive:
\[
\left( \frac{x}{2}\right)^2 + \left( \frac{x}{2} + y\right)^2 = 2
\]
ponendo:
\[
\begin{cases}
\xi = \frac{x}{2}\\
\eta = \frac{x}{2} + y
\end{cases}
\]
esso si riscrive come una circonferenza in forma canonica:
\[
\xi^2 + \eta^2 = 2
\]
Facendo il medesimo cambiamento di variabili nella funzione obiettivo si vede che essa non cambia, i.e. che:
\[
f(\xi, \eta) = \frac{(\xi + \eta)^3}{3}
\]
(infatti è banale constatare che \(\xi + \eta = x+y\)).
Dunque il problema proposto è equivalente a trovare gli estremi della $f$ sulla circonferenza canonica di raggio $\sqrt{2}$.

Questo problema si risolve facilmente, poiché si vede quasi ad occhio (o, più formalmente, usando la disuguaglianza tra media aritmetica e media quadratica e la disparità di $f$) che $f$ è massima quando $\xi = \eta >0$, ossia per $\xi, \eta = 1$, ed è minima per $\xi=\eta <0$ ossia per \(\xi,\eta =-1\)\; .

Ciò importa che gli estremi del problema originario sono presi in \((2,0)\) (punto di massimo) ed in \((-2,0)\) (punto di minimo).