Massimi e minimi relativi in funzioni in due variabili

[gionny98]

$ f(x,y)=3y^2-3x^2y^2-y^3 $
le derivate parziali sono:
$ f_x(x,y)=-6xy^2 $
$ f_y(x,y)=6y-6yx^2-3y^2 $
Ora se risolvo il sistema con le derivate prime parziali per porle a 0 mi escono due punti: $ p_0(1;0) p_1(-1;0) $
Le derivate seconde sono:
$ f_x $ rispetto a x= $ -6y^2 $
$ f_x $ rispetto a y= $ -12xy $
$ f_y $ rispetto a x= $ -12yx $
$ f_y $ rispetto a y= $ 6-6x^2-6y^2 $
ora se sostituisco nella matrice Hessiana i punti $ p_0 $ e $ p_1 $ mi esce 0 ma credo sia sbagliato perchè nel grafico ci dovrebbe essere un punto di massimo.
Qualcuno potrebbe aiutarmi a capire dove sbaglio?

[Mark110001]

Prima di tutto, controlla bene il sistema che risolvi per trovare i punti critici, perchè non hai individuato le soluzioni corrette.

Dopodiché, ricorda che il criterio dell'Hessiano per la valutazione dei punti estremali non porta sempre a un risultato; nel caso di una funzione in due variabili, trovi che:
1) Se l'Hessiano ha determinante positivo nel punto e il primo elemento è positivo, allora quel punto è di minimo.
2) Se l'Hessiano ha determinante positivo nel punto e il primo elemento è negativo, allora quel punto è di massimo.
3) Se l'Hessiano ha determinante negativo nel punto, allora il punto è di sella.
e soprattutto:
4) Se l'Hessiano ha determinante nullo nel punto, nulla puoi dedurre circa la natura del punto critico, ma devi studiarlo a parte con il metodo che preferisci e che meglio funziona nel tuo caso (studiando il segno della funzione, restringendola a delle curve particolari, etc.). Ciò significa che un punto che annulla l'Hessiano può tranquillamente essere di massimo o di minimo, come anche non esserlo.

[vict85]

Da uno sguardo veloce noto che \(f_{yy}\) è sbagliata, ma forse è un errore nel copia incolla.