Massimi e minimi relativi in funzioni di più variabili
Salve, so che l'argomento è stato trattato più volte ma ho girato molti topic e anche tutto quello che google ha potuto fornirmi senza trovare una risposta.
Allora premettendo che so come funziona, ovvero devo porre il gradiente della funzione uguale a zero e trovare i punti critici e poi studiare la matrice hessiana per capire se sono massimi o minimi, punti di sella o se devo svolgere un altro tipo di analisi. Il problema che mi si pone è che questa è stata la spiegazione "teorica" sui massimi e minimi fornita dalla nostra prof, ma negli esercizi il procedimento è diverso: lei non utilizza mai la matrice hessiana.
Solitamente o si riconduce ad fascio di rette passanti per il punto assegnato (quando il punto è 0,0 principalmente) oppure si studia l'andamento della funzione in un intorno del punto ovvero f(x,y)-f(P)>0. Tuttavia mi trovo in dicoltà in questo tipo di analisi quando f(P) è diverso da zero, perchè appunto non devo effettuare un banale studio di positività della funzione; ho cercato anche di utilizzare comunque l'hessiano ma non mi è stato possibile in quando la maggior parte delle funzioni che assegna portano a derivate abbastanza lunghe, e il calcolo diventa problematico. Per esempio:
\(\displaystyle x^2ye^{-x^2-y^2} \)
mi viene un luogo dei punti critici \(\displaystyle x=0 \) e quattro punti critici \(\displaystyle (1,\frac{1}{\sqrt{2}}) (-1,\frac{1}{\sqrt{2}}) (1,\frac{-1}{\sqrt{2}}) (-1,\frac{-1}{\sqrt{2}}) \)
ho provato per il primo punto ma ovviamente la funzione calcolata in quel punto è diversa da zero e non so come risolvere la disequazione, qualcuno può darmi una mano? grazie
Allora premettendo che so come funziona, ovvero devo porre il gradiente della funzione uguale a zero e trovare i punti critici e poi studiare la matrice hessiana per capire se sono massimi o minimi, punti di sella o se devo svolgere un altro tipo di analisi. Il problema che mi si pone è che questa è stata la spiegazione "teorica" sui massimi e minimi fornita dalla nostra prof, ma negli esercizi il procedimento è diverso: lei non utilizza mai la matrice hessiana.
Solitamente o si riconduce ad fascio di rette passanti per il punto assegnato (quando il punto è 0,0 principalmente) oppure si studia l'andamento della funzione in un intorno del punto ovvero f(x,y)-f(P)>0. Tuttavia mi trovo in dicoltà in questo tipo di analisi quando f(P) è diverso da zero, perchè appunto non devo effettuare un banale studio di positività della funzione; ho cercato anche di utilizzare comunque l'hessiano ma non mi è stato possibile in quando la maggior parte delle funzioni che assegna portano a derivate abbastanza lunghe, e il calcolo diventa problematico. Per esempio:
\(\displaystyle x^2ye^{-x^2-y^2} \)
mi viene un luogo dei punti critici \(\displaystyle x=0 \) e quattro punti critici \(\displaystyle (1,\frac{1}{\sqrt{2}}) (-1,\frac{1}{\sqrt{2}}) (1,\frac{-1}{\sqrt{2}}) (-1,\frac{-1}{\sqrt{2}}) \)
ho provato per il primo punto ma ovviamente la funzione calcolata in quel punto è diversa da zero e non so come risolvere la disequazione, qualcuno può darmi una mano? grazie
Risposte
Allora, vedila così: prendi il punto nel primo quadrante.
Sulle due rette $x=0, y=0$ la funzione è nulla.
Anche all'infinito è nulla (causa l'esponenziale, dovresti vederlo anche "ad occhio").
Nel quadrante $f(x,y)>0$, quindi l'estremo in quel quadrante non può essere che.....
Ragionamenti analoghi si fanno per gli altri punti.
Sulle due rette $x=0, y=0$ la funzione è nulla.
Anche all'infinito è nulla (causa l'esponenziale, dovresti vederlo anche "ad occhio").
Nel quadrante $f(x,y)>0$, quindi l'estremo in quel quadrante non può essere che.....
Ragionamenti analoghi si fanno per gli altri punti.
$f(x,y)>0$ è sempre positiva nel primo quadrante quindi visto che i punti che annullano il gradiente sono punti in cui possiamo avere un piano a tangente orizzontale il punto deve essere per forza di massimo, sbaglio?
Questo ragionamento l'avevo già fatto ma facevo un associazione sbagliata credo, ovvero quella che si fa di solito quando si considera $f(x,y)-f(p)>0$ se viene positiva in un area si ha un minimo, e viceversa
per analogia anche il punto nel secondo quadrante dovrebbe essere un massimo e gli altri due minimi, sbaglio ancora?
Inoltre cambiando segno lungo l'asse x non dovrebbe avere come punti di sella tutti i punti (x,0)? quindi la retta y=0? invece io ho trovato x=0 come luogo dei punti critici
Questo ragionamento l'avevo già fatto ma facevo un associazione sbagliata credo, ovvero quella che si fa di solito quando si considera $f(x,y)-f(p)>0$ se viene positiva in un area si ha un minimo, e viceversa
per analogia anche il punto nel secondo quadrante dovrebbe essere un massimo e gli altri due minimi, sbaglio ancora?
Inoltre cambiando segno lungo l'asse x non dovrebbe avere come punti di sella tutti i punti (x,0)? quindi la retta y=0? invece io ho trovato x=0 come luogo dei punti critici
Si è tutto giusto. In sostanza ci sono due "colline" (quadranti I e II ) e due conche (III e IV).
Anche il ragionamento di $f(x,y)-f(p)>0$ è corretto, il problema è che bisogna valutarlo con metodi analitici, quindi hessiana, ecc. Se si trovano della scappatoie come quella che ti suggerisco ben venga (come mi sembra cerchi di abituarvi la prof.).
Perdere 5 minuti per un ministudio della funzione non è mai tempo perso. Vedi che sugli assi è nulla, all'infinito è nulla, è simmetrica rsp all'asse y. Tutte cose che aiutano.
Anche il ragionamento di $f(x,y)-f(p)>0$ è corretto, il problema è che bisogna valutarlo con metodi analitici, quindi hessiana, ecc. Se si trovano della scappatoie come quella che ti suggerisco ben venga (come mi sembra cerchi di abituarvi la prof.).
Perdere 5 minuti per un ministudio della funzione non è mai tempo perso. Vedi che sugli assi è nulla, all'infinito è nulla, è simmetrica rsp all'asse y. Tutte cose che aiutano.
Sono d'accordo con Quinzio; aggiungo che lungo il semiasse positivo y abbiamo una valle, lungo il semiasse negativo una cresta, l'origine non è nè un minimo nè un massimo.
"gio73":
Sono d'accordo con Quinzio; aggiungo che lungo il semiasse positivo y abbiamo una valle, lungo il semiasse negativo una cresta, l'origine non è nè un minimo nè un massimo.
Quindi è una sella?
"Angelina":
Inoltre cambiando segno lungo l'asse x non dovrebbe avere come punti di sella tutti i punti (x,0)? quindi la retta y=0?
Perchè? Non sono semplicemente punti in cui la funzione si annulla cambiando segno?
"giuscri":
[quote="gio73"]Sono d'accordo con Quinzio; aggiungo che lungo il semiasse positivo y abbiamo una valle, lungo il semiasse negativo una cresta, l'origine non è nè un minimo nè un massimo.
Quindi è una sella?[/quote]
Mi piace di più dire nè massimo nè minimo: alle volte i punti che annullano il gradiente hanno forme strane, non proprio come una sella, così per non sbagliare uso quella locuzione.
"giuscri":
[quote="Angelina"]Inoltre cambiando segno lungo l'asse x non dovrebbe avere come punti di sella tutti i punti (x,0)? quindi la retta y=0?
Perchè? Non sono semplicemente punti in cui la funzione si annulla cambiando segno? [/quote]
Già, infatti non annullano il gradiente.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo