Massimi e minimi (relativi) in due variabili
Ciao a tutti. Ho la seguente funzione:
$x^(10)(y^4-1)+1/12y^(12)+5y$ devo determinarne massimi e minimi.
I punti critici sono $(+-1,-1) e P(0,-5^((10)/(11)))$
I primi due sono punti di sella. Mentre per il terzo non riesco a stabilirlo (essendo in $P$ nulla l'hessiana).
Ho provato un po' a studiare il comportamento locale, ma non sono stato in grado di capire un gran che. Idee?
Grazie mille!
$x^(10)(y^4-1)+1/12y^(12)+5y$ devo determinarne massimi e minimi.
I punti critici sono $(+-1,-1) e P(0,-5^((10)/(11)))$
I primi due sono punti di sella. Mentre per il terzo non riesco a stabilirlo (essendo in $P$ nulla l'hessiana).
Ho provato un po' a studiare il comportamento locale, ma non sono stato in grado di capire un gran che. Idee?
Grazie mille!
Risposte
Chiamo $f(x, y)$ la tua funzione e $P=(x_0, y_0)$.
Io mi studierei l'andamento di $g(x)=f(x, y_0)$, cioè di $f$ sulla retta $y=y_0$.
Se riesci a far vedere che $g'(0)!=0$, allora puoi concludere che $P$ è punto di sella, visto che non è né di max, né di min per $g$.
Io mi studierei l'andamento di $g(x)=f(x, y_0)$, cioè di $f$ sulla retta $y=y_0$.
Se riesci a far vedere che $g'(0)!=0$, allora puoi concludere che $P$ è punto di sella, visto che non è né di max, né di min per $g$.
Ho studiato la funzione $phi(x)=f(x,(-5)^(1/11))$ e risulta crescente per $x>0$.
A questo punto mi sono messo sull'asse $y$ ed ho studiato la funzione $h(y)=f(0,y)$ che risulta crescente per $y>(-5)^(1/11)$.
Quindi analizzando le linee di livello sembrerebbe che il punto $P$ sia un minimo relativo per la $f$.
Come posso mostrare rigorosamente ora che $P$ sia effettivamente un minimo?
Se considero un intorno abbastanza vicino a $P (0,y_0)$ si ha che $f(x,y)>= 1/12 y^(12)+5y$ in quanto $x^10(y^(4)-1)>0$ a patto di considerare un intorno di $P$ che non superi $y=-1$. Inoltre sappiamo che $1/12y^(12)+5y$ assume minimo proprio in corrispondenza di $y_0$ per cui $1/12y^(12)+5y>= 1/12y_0^(12)+5y_0=f(0,y_0)$. Per cui $P$ è effettivamente un minimo relativo.
Può andare questa argomentazione?
A questo punto mi sono messo sull'asse $y$ ed ho studiato la funzione $h(y)=f(0,y)$ che risulta crescente per $y>(-5)^(1/11)$.
Quindi analizzando le linee di livello sembrerebbe che il punto $P$ sia un minimo relativo per la $f$.
Come posso mostrare rigorosamente ora che $P$ sia effettivamente un minimo?
Se considero un intorno abbastanza vicino a $P (0,y_0)$ si ha che $f(x,y)>= 1/12 y^(12)+5y$ in quanto $x^10(y^(4)-1)>0$ a patto di considerare un intorno di $P$ che non superi $y=-1$. Inoltre sappiamo che $1/12y^(12)+5y$ assume minimo proprio in corrispondenza di $y_0$ per cui $1/12y^(12)+5y>= 1/12y_0^(12)+5y_0=f(0,y_0)$. Per cui $P$ è effettivamente un minimo relativo.
Può andare questa argomentazione?
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