Massimi e minimi relativi funzione a due variabili
Buon pomeriggio a tutti,
sto combattendo con questa funzione:
$f(x,y)=4x^2y^2(2x-y-3)(2x-y+3)$.
Ho calcolato le derivate parziali:
$(partial f)/(partial x) =8xy^2(8x^2-6xy+y^2-9)$
$(partial f)/(partial y) =8x^2y(2y^2-6yx+4x^2-9)$
e le ho messe a sistema uguali a 0:
${ ( 8xy^2(8x^2-6xy+y^2-9)=0 ),( 8x^2y(2y^2-6yx+4x^2-9)=0 ):}$
Dalla prima equazione ho trovato tali soluzioni:$x=0,y=0,y=3x+-sqrt(x^2+9)$.
Mi sembra un po' "cattiva" l'ultima soluzione.Secondo voi?
Grazie in anticipo.
sto combattendo con questa funzione:
$f(x,y)=4x^2y^2(2x-y-3)(2x-y+3)$.
Ho calcolato le derivate parziali:
$(partial f)/(partial x) =8xy^2(8x^2-6xy+y^2-9)$
$(partial f)/(partial y) =8x^2y(2y^2-6yx+4x^2-9)$
e le ho messe a sistema uguali a 0:
${ ( 8xy^2(8x^2-6xy+y^2-9)=0 ),( 8x^2y(2y^2-6yx+4x^2-9)=0 ):}$
Dalla prima equazione ho trovato tali soluzioni:$x=0,y=0,y=3x+-sqrt(x^2+9)$.
Mi sembra un po' "cattiva" l'ultima soluzione.Secondo voi?
Grazie in anticipo.
Risposte
Ho rifatto per conto mio le derivate parziali e mi vengono uguali alle tue: non perché avevo ragione di dubitare la tua risposta, ma solo perché 2 occhi in più non fanno male, no?
Comunque
Andiamo con calma, sfruttiamo la legge di annullamento del prodotto: lo faccio perché comunque la soluzione la sai e sei arrivato tanto in là con il procedimento.
1.
${(x=0),( 8x^2y(2y^2-6yx+4x^2-9)=0 ):}$ cioè $x=0$ ovvero tutto l'asse $y$ (l'hai trovata anche tu).
2.
${( y^2 =0),( 8x^2y(2y^2-6yx+4x^2-9)=0 ):}$
cioè
${ (y=0),( 8x^2y(2y^2-6yx+4x^2-9)=0 ):}$ dunque $y=0$ ovvero l'asse $x$ (anche questa l'hai trovata).
3.
${ ( 8x^2-6xy+y^2-9=0 ),( 8x^2y(2y^2-6yx+4x^2-9)=0 ):}$
Dato che le ho già considerate $x=0$ e $y=0$ soluzioni nei due casi precedenti, posso tranquillamente semplificare il termine $8x^2 y$ nella seconda equazione.
${ ( 8x^2-6xy+y^2-9=0 ),(2y^2-6yx+4x^2-9=0 ):}$
E' un po' complicatuccia, ma se alla prima sottraggo la seconda spariscono quei "maledetti" termini misti.
${ ( 4x^2-y^2=0 ),(2y^2-6yx+4x^2-9=0 ):}$
Il colpo di fortuna è che sparisce anche il termine noto, quindi differenza di quadrati!!!
${((2x-y)(2x+y)=0),(2y^2-6xy+4x^2-9=0):}$
ora
3a
${(2x-y=0),(2y^2-6xy+4x^2-9=0):}$
ovvero
${(y=2x),(8x^2-12x^2+4x^2-9=0):}$ nessuna soluzione!
3b
${(2x+y=0),(2y^2-6xy+4x^2-9=0):}$
ovvero
${(y=-2x),(8x^2+12x^2+4x^2-9=0):}$
cioè
${(y=-2x),(24x^2=9):}$
dunque
${(y=-2x),(x^2=3/8):}$
dunque $(\sqrt(6)/4, -\sqrt(6)/2)$ e $(-\sqrt(6)/4, \sqrt(6)/2)$.
Concludendo.
Il punto 3. è quello difficile, cioè semplificare in modo masticabile il sistema di quarto grado. In genere - ma non sempre - gli esercizi sono fatti in modo che con qualche "trucco" i calcoli si riducono drasticamente.
Mi sono accorto che sparivano i termini misti, al massimo si poteva far sparire con una somma/sottrazione adeguata, il termine in $x^2$ (o $y^2$) per poi esplicitare la $x$ (o $y$) nell'equazione che rimaneva orfana di tale termine.
Dovrebbe funzionare, ma erano calcoli senz'altro più laboriosi...
Conclusione necessaria.
Non sono mai stato un drago con i calcoli: se ho sbagliato qualcosa insultatemi pure (in senso buono, ovvio!).
Comunque
"Freezix":
e le ho messe a sistema uguali a 0:
$ { ( 8xy^2(8x^2-6xy+y^2-9)=0 ),( 8x^2y(2y^2-6yx+4x^2-9)=0 ):} $
Dalla prima equazione ho trovato tali soluzioni:$ x=0,y=0,y=3x+-sqrt(x^2+9) $.
Andiamo con calma, sfruttiamo la legge di annullamento del prodotto: lo faccio perché comunque la soluzione la sai e sei arrivato tanto in là con il procedimento.
1.
${(x=0),( 8x^2y(2y^2-6yx+4x^2-9)=0 ):}$ cioè $x=0$ ovvero tutto l'asse $y$ (l'hai trovata anche tu).
2.
${( y^2 =0),( 8x^2y(2y^2-6yx+4x^2-9)=0 ):}$
cioè
${ (y=0),( 8x^2y(2y^2-6yx+4x^2-9)=0 ):}$ dunque $y=0$ ovvero l'asse $x$ (anche questa l'hai trovata).
3.
${ ( 8x^2-6xy+y^2-9=0 ),( 8x^2y(2y^2-6yx+4x^2-9)=0 ):}$
Dato che le ho già considerate $x=0$ e $y=0$ soluzioni nei due casi precedenti, posso tranquillamente semplificare il termine $8x^2 y$ nella seconda equazione.
${ ( 8x^2-6xy+y^2-9=0 ),(2y^2-6yx+4x^2-9=0 ):}$
E' un po' complicatuccia, ma se alla prima sottraggo la seconda spariscono quei "maledetti" termini misti.
${ ( 4x^2-y^2=0 ),(2y^2-6yx+4x^2-9=0 ):}$
Il colpo di fortuna è che sparisce anche il termine noto, quindi differenza di quadrati!!!
${((2x-y)(2x+y)=0),(2y^2-6xy+4x^2-9=0):}$
ora
3a
${(2x-y=0),(2y^2-6xy+4x^2-9=0):}$
ovvero
${(y=2x),(8x^2-12x^2+4x^2-9=0):}$ nessuna soluzione!
3b
${(2x+y=0),(2y^2-6xy+4x^2-9=0):}$
ovvero
${(y=-2x),(8x^2+12x^2+4x^2-9=0):}$
cioè
${(y=-2x),(24x^2=9):}$
dunque
${(y=-2x),(x^2=3/8):}$
dunque $(\sqrt(6)/4, -\sqrt(6)/2)$ e $(-\sqrt(6)/4, \sqrt(6)/2)$.
Concludendo.
Il punto 3. è quello difficile, cioè semplificare in modo masticabile il sistema di quarto grado. In genere - ma non sempre - gli esercizi sono fatti in modo che con qualche "trucco" i calcoli si riducono drasticamente.
Mi sono accorto che sparivano i termini misti, al massimo si poteva far sparire con una somma/sottrazione adeguata, il termine in $x^2$ (o $y^2$) per poi esplicitare la $x$ (o $y$) nell'equazione che rimaneva orfana di tale termine.
Dovrebbe funzionare, ma erano calcoli senz'altro più laboriosi...
Conclusione necessaria.
Non sono mai stato un drago con i calcoli: se ho sbagliato qualcosa insultatemi pure (in senso buono, ovvio!).
Dunque gli unici punti sono $(sqrt(6)/4,-sqrt(6)/2)$$(-sqrt(6)/4,sqrt(6)/2)$?.Comunque anch'io avevo pensato di fare così però mi sembrava strano semplificare il termine$8x^2y$nella seconda equazione e considerare i polinomi nelle parentesi tonde.Grazie ancora.
"Freezix":
Dunque gli unici punti sono $(sqrt(6)/4,-sqrt(6)/2)$$(-sqrt(6)/4,sqrt(6)/2)$
Sì, ma poi ci sono anche $y=0$ e $x=0$ che sono rette che sono critiche, quindi possono essere di massimo, minimo o sella: bisogna verificare (o avere l'immaginazione - matematica - di gio73 per quanto riguarda i grafici).
Ciao Zero! Troppo buono.
La prima cosa che ho fatto quando ho visto la funzione è stato lo studio del segno (lo consiglio, soprattutto quando è facile, anche se non è richiesto dall'esercizio). Ci troviamo di fronte a una striscia delimitata dalle due rette parallele $y=2x-3$ e $y=2x-3$: all'interno della striscia la funzione non è positiva, all'esterno non è negativa, lungo le rette vale 0. Ordunque la funzione lungo gli assi vale zero, se ci limitiamo alle parti di assi che si trovano all'interno della striscia abbiamo la funzione che vale 0 e tutt'intorno è negativa, dunque sono dei minimi; il contrario per quanto riguarda le parti di assi esterne alla striscia; infine i punti di intersezione tra gli assi e le rette non sono né di massimo né di minimo. Ci sono zero?
Sempre facendo delle stime qualitative ci accorgiamo che dobbiamo aspettarci due minimi relativi nei due triangolini di vertici rispettivamente $O(0;0) A(-3/2;0) B(0;+3)$ e $O(0;0) A' (+3/2;0) B'(0;-3)$. Quando si svolgono i calcoli si può sempre sbagliare e perciò è opportuno cercare di verificare in qualche altro modo i propri risultati.
La prima cosa che ho fatto quando ho visto la funzione è stato lo studio del segno (lo consiglio, soprattutto quando è facile, anche se non è richiesto dall'esercizio). Ci troviamo di fronte a una striscia delimitata dalle due rette parallele $y=2x-3$ e $y=2x-3$: all'interno della striscia la funzione non è positiva, all'esterno non è negativa, lungo le rette vale 0. Ordunque la funzione lungo gli assi vale zero, se ci limitiamo alle parti di assi che si trovano all'interno della striscia abbiamo la funzione che vale 0 e tutt'intorno è negativa, dunque sono dei minimi; il contrario per quanto riguarda le parti di assi esterne alla striscia; infine i punti di intersezione tra gli assi e le rette non sono né di massimo né di minimo. Ci sono zero?
Sempre facendo delle stime qualitative ci accorgiamo che dobbiamo aspettarci due minimi relativi nei due triangolini di vertici rispettivamente $O(0;0) A(-3/2;0) B(0;+3)$ e $O(0;0) A' (+3/2;0) B'(0;-3)$. Quando si svolgono i calcoli si può sempre sbagliare e perciò è opportuno cercare di verificare in qualche altro modo i propri risultati.
Scusami ma sempre nella traccia mi viene chiesto di trovare massimo e minimo assoluti nel triangolo $(0,0) (0,-3) (3/2,0)$.Sono andato a fare le restrizioni:
$(0,0) (0,-3)$che hanno lo 0 come ascissa comune.Quindi $f(0,y)$ andando a sostituire le coordinate (0,y) nella funzione iniziale questa è $f(x,y)=0$.
Questo discorso vale anche per le altre due restrizioni:
$(0,-3) (3/2,0)$ da cui $f(x,2x-3)$ che vado a sostituire e$f(x,y)=0$.
$(3/2,0) (0,0)$ da cui $f(x,0)$ ... $f(x,y)=0$
Cosa posso affermare?Che sono punti stazionari o che non esistono proprio?
$(0,0) (0,-3)$che hanno lo 0 come ascissa comune.Quindi $f(0,y)$ andando a sostituire le coordinate (0,y) nella funzione iniziale questa è $f(x,y)=0$.
Questo discorso vale anche per le altre due restrizioni:
$(0,-3) (3/2,0)$ da cui $f(x,2x-3)$ che vado a sostituire e$f(x,y)=0$.
$(3/2,0) (0,0)$ da cui $f(x,0)$ ... $f(x,y)=0$
Cosa posso affermare?Che sono punti stazionari o che non esistono proprio?
"gio73":
Ciao Zero! Troppo buono.
Ci troviamo di fronte a una striscia delimitata dalle due rette parallele $y=2x-3$ e $y=2x-3$: all'interno...
$y=2x+3$ $y=2x-3$
gio 73 ma possiamo dire che i punti d'intersezione tra assi e rette sono di sella??
Oh si grazie Freezix, ho messo due volte $-3$.
Sì direi di che si possono chiamare selle, anche se non hanno proprio la forma di una sella di quelle che si mettono sui cavalli, o sbaglio?
Ad ogni modo so che Rigel i punti stazionari che non sono massimi né minimi, li chiama così senza specificare.
Sì direi di che si possono chiamare selle, anche se non hanno proprio la forma di una sella di quelle che si mettono sui cavalli, o sbaglio?
Ad ogni modo so che Rigel i punti stazionari che non sono massimi né minimi, li chiama così senza specificare.
gio 73 ultima domanda:
se esistesse il caso,nello studio del segno,in cui $y<=2x-3$ e $y<=2x+3$ allora le rette non varrebbero 0.Giusto?Assumono la stessa concavità tridimensionale dello spazio interno alle rette?Perchè ad esempio nel triangolo $(0,0)(3/2,0)(0,-3$) sappiamo che al suo interno vi è un minimo relativo.Ecco, io immagino che questo triangolo sia come una borsa,non troppo profonda,che che si proietta verso un unico punto che è il minimo.Che immaginazione
E' giusto o sbaglio?Ma non capisco nel caso che ho spiegato sopra come immaginare il tutto.Perchè se avessimo quel caso allora non credo che sarebbe un minimo relativo il punto interno al triangolo.No?E questo vale anche per gli assi?O sono sempre uguali a 0?
se esistesse il caso,nello studio del segno,in cui $y<=2x-3$ e $y<=2x+3$ allora le rette non varrebbero 0.Giusto?Assumono la stessa concavità tridimensionale dello spazio interno alle rette?Perchè ad esempio nel triangolo $(0,0)(3/2,0)(0,-3$) sappiamo che al suo interno vi è un minimo relativo.Ecco, io immagino che questo triangolo sia come una borsa,non troppo profonda,che che si proietta verso un unico punto che è il minimo.Che immaginazione
E' giusto o sbaglio?Ma non capisco nel caso che ho spiegato sopra come immaginare il tutto.Perchè se avessimo quel caso allora non credo che sarebbe un minimo relativo il punto interno al triangolo.No?E questo vale anche per gli assi?O sono sempre uguali a 0?
"Freezix":
gio 73 ultima domanda:
se esistesse il caso,nello studio del segno,in cui $y<=2x-3$ e $y<=2x+3$ allora le rette non varrebbero 0.Giusto?Assumono la stessa concavità tridimensionale dello spazio interno alle rette?
qui non ti capisco granchè...
"Freezix":
Perchè ad esempio nel triangolo $(0,0)(3/2,0)(0,-3$) sappiamo che al suo interno vi è un minimo relativo.Ecco, io immagino che questo triangolo sia come una borsa,non troppo profonda,che che si proietta verso un unico punto che è il minimo. Che immaginazione
Io tendo ad immaginari paesaggi, di conseguenza più che una borsa visualizzo una dolina.
"Freezix":
Ma non capisco nel caso che ho spiegato sopra come immaginare il tutto.Perchè se avessimo quel caso allora non credo che sarebbe un minimo relativo il punto interno al triangolo.No?E questo vale anche per gli assi?O sono sempre uguali a 0?
Di nuovo non capisco...
Andando a fare lo studio del segno di questa funzione abbiamo $y<2x-3$ $y<2x+3$.Quindi queste due rette delimitano uno spazio negativo mentre al di fuori di esse lo spazio è positivo.Tu hai detto che le rette non sono ne positive ne negative ma uguali a 0.Io ho chiesto se invece di avere $y<2x-3$ $y<2x+3$ avessimo $y<=2x-3$$y<=2x+3$ le rette valgono lo stesso 0?Se no quanto valgono?(Il senso è questo:nel momento in cui vado a dire che lo spazio delimitato è negativo devo anche dire che le rette sono negative?)
Poi tu sei arrivato alla conclusione che all'interno del triangolo di coordinate $(0,0)(3/2,0)(0,-3)$ vi è un minimo perché il triangolo è all'interno negativo ed è limitato dagli assi uguali a 0 e dalle rette.E se le rette non fossero uguali a 0?
Poi tu sei arrivato alla conclusione che all'interno del triangolo di coordinate $(0,0)(3/2,0)(0,-3)$ vi è un minimo perché il triangolo è all'interno negativo ed è limitato dagli assi uguali a 0 e dalle rette.E se le rette non fossero uguali a 0?
Ecco... nel nostro caso in corrispondenza dei punti che costituiscono le due rette parallele $y=2x+3$ e $y=2x-3$ e gli assi la nostra funzione vale 0, se vuoi postare un altro esempio ne parliamo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo