Massimi e minimi relativi e assoluti funzioni più variabili.
Salve a tutti. Ho questo esercizio:
"Data la funzione $f(x) = e^(4(x^2+y^2)) + 4^3x^2 - 4$, trovare:
1) tutti i punti di max e min relativo;
2) i punti di max e min assoluto nell'insieme $x^2 + y^2 = 16$ ".
Per risolvere il primo punto, dopo aver visto che la funzione sia differenziabile, derivo parzialmente la funzione rispetto a $x$ e rispetto a $y$. Le derivate parziali sono, se non ho fatto male i calcoli:
$f_x (x, y) = e^(4(x^2 + y^2)) 8x + 2^7 x$
$f_y (x, y) = e^(4(x^2 + y^2)) 8y$
Poi, risolvo il sistema (scusate ma non so codificarlo):
${e^(4(x^2 + y^2)) 8x + 2^7 x = 0 \\ e^(4(x^2 + y^2)) 8y = 0} $
Che come unica soluzione mi dà il punto $P (0, 0)$, perchè, secondo il mio ragionamento, che sottopongo a voi, nella prima equazione, mettendo la $x$ in evidenza, otterrei:
$x [e^(4(x^2 + y^2)) 8 + 2^7] = 0 $,
e, siccome, per qualsiasi $(x, y)$, il secondo fattore, essendo un esponenziale, non è mai nullo, allora l'unico modo per annullare quel prodotto è porre $x = 0$; allo stesso modo, ragiono per la seconda equazione, trovando che l'unico modo per annullare quel prodotto è porre $y=0$.
Dando per buono il mio ragionamento (che è tutt'altro che scontato), ho trovato un unico punto stazionario (che è l'unico candidato ad essere massimo o minimo perchè la funzione è ovunque derivabile). Questo punto, ragionando sulla matrice Hessiana associata ad esso, è un punto di minimo relativo.
Una mia domanda è:
Posso dire, in qualche modo, con qualche teorema, se il punto sia di minimo assoluto, visto che l'Hessiano dipende da $x$ e $y$ (e quindi non è indipendentemente positivo o negativo per tutti i punti del dominio)? Per le funzioni a due variabili che sono derivabili in tutto il loro dominio, questo ragionamento si può fare (credo, se non mi sfugge qualcosa). Si può fare anche per le funzioni a più variabili?
C'è poi il punto 2 dell'esercizio.
Se esplicito il vincolo, $y^2 = 16 - x^2$, e sostituisco, ottengo che:
$f(x, 16 - x^2) = e^64 + 4^3 x^2 - 4$.
Derivo questa funzione, ottenendo $f'(x, 16 - x^2) = 2^7 x$. A questo punto, la funzione è decrescente nell'intervallo, che interessa a noi, $(-4; 0)$ e crescente nell'altro, sempre quello che interessa a noi, $(0; 4)$. L'ascissa $0$ è punto di minimo relativo e assoluto nell'intervallo che interessa a noi, ossia $(-4; +4)$.
Ovviamente, visto il teorema di Weierstrass, concludo anche che i punti di ascissa $-4$ e $+4$ siano punti di massimo, relativo e assoluto, in quell'intervallo.
Sono corretti esercizio e vari modi di ragionare?
"Data la funzione $f(x) = e^(4(x^2+y^2)) + 4^3x^2 - 4$, trovare:
1) tutti i punti di max e min relativo;
2) i punti di max e min assoluto nell'insieme $x^2 + y^2 = 16$ ".
Per risolvere il primo punto, dopo aver visto che la funzione sia differenziabile, derivo parzialmente la funzione rispetto a $x$ e rispetto a $y$. Le derivate parziali sono, se non ho fatto male i calcoli:
$f_x (x, y) = e^(4(x^2 + y^2)) 8x + 2^7 x$
$f_y (x, y) = e^(4(x^2 + y^2)) 8y$
Poi, risolvo il sistema (scusate ma non so codificarlo):
${e^(4(x^2 + y^2)) 8x + 2^7 x = 0 \\ e^(4(x^2 + y^2)) 8y = 0} $
Che come unica soluzione mi dà il punto $P (0, 0)$, perchè, secondo il mio ragionamento, che sottopongo a voi, nella prima equazione, mettendo la $x$ in evidenza, otterrei:
$x [e^(4(x^2 + y^2)) 8 + 2^7] = 0 $,
e, siccome, per qualsiasi $(x, y)$, il secondo fattore, essendo un esponenziale, non è mai nullo, allora l'unico modo per annullare quel prodotto è porre $x = 0$; allo stesso modo, ragiono per la seconda equazione, trovando che l'unico modo per annullare quel prodotto è porre $y=0$.
Dando per buono il mio ragionamento (che è tutt'altro che scontato), ho trovato un unico punto stazionario (che è l'unico candidato ad essere massimo o minimo perchè la funzione è ovunque derivabile). Questo punto, ragionando sulla matrice Hessiana associata ad esso, è un punto di minimo relativo.
Una mia domanda è:
Posso dire, in qualche modo, con qualche teorema, se il punto sia di minimo assoluto, visto che l'Hessiano dipende da $x$ e $y$ (e quindi non è indipendentemente positivo o negativo per tutti i punti del dominio)? Per le funzioni a due variabili che sono derivabili in tutto il loro dominio, questo ragionamento si può fare (credo, se non mi sfugge qualcosa). Si può fare anche per le funzioni a più variabili?
C'è poi il punto 2 dell'esercizio.
Se esplicito il vincolo, $y^2 = 16 - x^2$, e sostituisco, ottengo che:
$f(x, 16 - x^2) = e^64 + 4^3 x^2 - 4$.
Derivo questa funzione, ottenendo $f'(x, 16 - x^2) = 2^7 x$. A questo punto, la funzione è decrescente nell'intervallo, che interessa a noi, $(-4; 0)$ e crescente nell'altro, sempre quello che interessa a noi, $(0; 4)$. L'ascissa $0$ è punto di minimo relativo e assoluto nell'intervallo che interessa a noi, ossia $(-4; +4)$.
Ovviamente, visto il teorema di Weierstrass, concludo anche che i punti di ascissa $-4$ e $+4$ siano punti di massimo, relativo e assoluto, in quell'intervallo.
Sono corretti esercizio e vari modi di ragionare?
Risposte
Le derivate mi riportano come te, ma non cantare troppo vittoria, in genere gli errori di calcolo li faccio, non li correggo! 
Me l'ha insegnato Lordb: basta mettere tra dollari "{(...),(...):}", dove, tra parentesi, ci vanno le due equazioni.
${(e^(4(x^2 + y^2)) 8x + 2^7 x = 0),(e^(4(x^2 + y^2)) 8y = 0):}$.
In cui l'unica soluzione è proprio $(0,0)$ seguendo il tuo stesso ragionamento.
Se calcoli la matrice Hessiana in un punto, ottieni numeri, non funzioni. Dunque il determinante ce l'hai per certo (il brutto è se è nullo).
La matrice Hessiana generica, cioè quella delle derivate seconde e basta, è fatta di funzioni, ma poi sostituisci a $x$ e $y$ l'ascissa e l'ordinata del punto critico di cui determinare la natura.
Per il punto 2 mi astengo dal rispondere perché non ho molto feeling con massimi e minimi vincolati.
"turtle87":
Poi, risolvo il sistema (scusate ma non so codificarlo):
${e^(4(x^2 + y^2)) 8x + 2^7 x = 0 \\ e^(4(x^2 + y^2)) 8y = 0} $
Me l'ha insegnato Lordb: basta mettere tra dollari "{(...),(...):}", dove, tra parentesi, ci vanno le due equazioni.
${(e^(4(x^2 + y^2)) 8x + 2^7 x = 0),(e^(4(x^2 + y^2)) 8y = 0):}$.
In cui l'unica soluzione è proprio $(0,0)$ seguendo il tuo stesso ragionamento.
"turtle87":
Posso dire, in qualche modo, con qualche teorema, se il punto sia di minimo assoluto, visto che l'Hessiano dipende da $x$ e $y$ (e quindi non è indipendentemente positivo o negativo per tutti i punti del dominio)?
Se calcoli la matrice Hessiana in un punto, ottieni numeri, non funzioni. Dunque il determinante ce l'hai per certo (il brutto è se è nullo).
La matrice Hessiana generica, cioè quella delle derivate seconde e basta, è fatta di funzioni, ma poi sostituisci a $x$ e $y$ l'ascissa e l'ordinata del punto critico di cui determinare la natura.
Per il punto 2 mi astengo dal rispondere perché non ho molto feeling con massimi e minimi vincolati.
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