Massimi e minimi relativi di funzioni a due variabili

[qwert90]

Salve a tutti:
il mio esercizio è questo:

$f(x,y)=x^2-xy$

calcolo$f_x=(2x-y)$ e $f_y=-x$ .
Ora per trovare i punti critici devo risolvere il sistema che ha per equazioni le due derivate parziali.
Mi trovo che il mio unico punto stazionario è $P(0,0)$ .
E' cosi? Ho fatto bene ?

Vado a calcolare l'hessiano in $P(0,0)$ e mi trovo che esso è maggiore di 0 e poichè $f_(x^2)$ è maggiore di 0 si ha che $P(0,0)$ è punto di minimo relativo in senso stretto.

Ho fatto bene ? Ditemise ho fatto qualche errore ... almeno cosi ho qualche dubbio in meno

Grazie mille a tutti

[deserto1]

Direi che hai fatto bene.


Scusate mi sono accorto di avere scritto una inesattezza.

[Gatto891]

"qwert90":
Vado a calcolare l'hessiano in $P(0,0)$ e mi trovo che esso è maggiore di 0 e poichè $f_(x^2)$ è maggiore di 0 si ha che $P(0,0)$ è punto di minimo relativo in senso stretto.

Quello che dici non ti basta... affinchè sia un punto di minimo, oltre ad avere traccia positiva devi avere anche determinante positivo, cosa che non è vera nel tuo caso... nel tuo caso viene che il determinante dell'Hessiano è $<0$, quindi il tuo punto sarà di sella.

Schema utile in due dimensioni, relativo all'Hessiano di un punto critico:

Traccia positiva, Determinante positivo --> Minimo
Traccia negativa, Determinante positivo --> Massimo
Determinante negativo --> Sella[/list:u:20ea0h15]

Puoi anche vederla in un altro modo... $f(0,0) = 0$ e, se fai lo studio della positività della funzione, trovi che in ogni intorno di $(0,0)$ cadono sia punti a valori positivi sia punti a valori negativi, quindi il tuo punto non può essere nè di massimo nè di minimo.

[qwert90]

gatto89 perchè l'hessiano non sarebbe maggiore di 0?
a me viene uguale a 1... forse ho sbagliato in qualche calcolo dici??

[Gatto891]

Non ti viene $H(x,y) = ((2, -1), (-1, 0))$ con determinante quindi negativo?

[qwert90]

hai ragione hai ragione hai ragione