Massimi e minimi relativi con Hessiano nullo
Ciao a tutti,
questo tipo di esercizi mi torna difficile capirlo. Più che altro mi rimangono ostici i metodi da applicare nel caso in cui la matrice hessiana risulti nulla.
Ad esempio, se ho $f(x,y)=x^6+4y^6$
I punti critici di tale funzione sono $(0,0)$.
Calcolo $f_x=6x^5$, $f_{x x}=30x^4$, $f_y=24y^5$, $f_{yy}=120x^4$ e, per il teorema di Schwarz, $f_{x y}=f_{y x}=0$
La matrice Hessiana mi viene
$ H(0,0) = | ( 0 , 0 ),( 0 , 0 ) | = 0$
Da qui come procedo?
Grazie mille a tutti
questo tipo di esercizi mi torna difficile capirlo. Più che altro mi rimangono ostici i metodi da applicare nel caso in cui la matrice hessiana risulti nulla.
Ad esempio, se ho $f(x,y)=x^6+4y^6$
I punti critici di tale funzione sono $(0,0)$.
Calcolo $f_x=6x^5$, $f_{x x}=30x^4$, $f_y=24y^5$, $f_{yy}=120x^4$ e, per il teorema di Schwarz, $f_{x y}=f_{y x}=0$
La matrice Hessiana mi viene
$ H(0,0) = | ( 0 , 0 ),( 0 , 0 ) | = 0$
Da qui come procedo?
Grazie mille a tutti
Risposte
Nota che $f(x,y)>=0$ per ogni $(x,y) in RR^2$ e $f(x,y)=0 <=> (x,y)=(0,0)$.
Quindi $(0,0)$ è punto di minimo assoluto.
Quindi $(0,0)$ è punto di minimo assoluto.
Ecco, ho beccato un caso "facile".
Ma apparte questa "scorciatoia", quì, si potrebbero usare altri metodi? E come si usano ?
Grazie mille
Ma apparte questa "scorciatoia", quì, si potrebbero usare altri metodi? E come si usano ?
Grazie mille
lo studio del segno aiuta spesso, posta un altro caso e lo vediamo insieme
Prendiamo, ad esempio, questa funzione, $f(x,y)=3x^4+y^4+4x^3y$
Facendo il sistema fra le derivate parziali $f_x=0$ e $f_y=0$ trovo il punto critico $(0,0)$.
Ovviamente usando il metodo dell'Hessiano trovo l'Hessiano nullo, infatti
$ f_{x x}=36x^2 $ $ f_{y y}=12 y^2 $ e grazie al teorema di Schwarz si ha $ f_{x y}=f_{y x} = 12x^2 $
Dunque
$ H(0,0)=| ( 0 , 0 ),( 0 , 0 ) | =0 $
e da qui come mi comporto?
Facendo il sistema fra le derivate parziali $f_x=0$ e $f_y=0$ trovo il punto critico $(0,0)$.
Ovviamente usando il metodo dell'Hessiano trovo l'Hessiano nullo, infatti
$ f_{x x}=36x^2 $ $ f_{y y}=12 y^2 $ e grazie al teorema di Schwarz si ha $ f_{x y}=f_{y x} = 12x^2 $
Dunque
$ H(0,0)=| ( 0 , 0 ),( 0 , 0 ) | =0 $
e da qui come mi comporto?
a me piace farmi un'idea dell'aspetto che dovrebbe avere il grafico di una funzione.
Nel nostro caso restringendoci agli assi e a alle bisettrici potremmo cominciare a farci un'idea, ad esempio notiamo che lungo la bisettrice di II e Iv quadrante la nostra funzione...
Inoltre nel I e III quadrante essa è sempre positiva/negativa (verifica tu)
Ora non ci resta da verificare cosa accade intorno all'origine, se riusciamo a beccare una direzione (retta con coefficiente angolare negativo $y=-mx$) dove la nostra funzione si comporta diversamente da come si comporta nel I e III quadrante possiamo concludere che l'origine non è nè un massimo nè un minimo
Nel nostro caso restringendoci agli assi e a alle bisettrici potremmo cominciare a farci un'idea, ad esempio notiamo che lungo la bisettrice di II e Iv quadrante la nostra funzione...
Inoltre nel I e III quadrante essa è sempre positiva/negativa (verifica tu)
Ora non ci resta da verificare cosa accade intorno all'origine, se riusciamo a beccare una direzione (retta con coefficiente angolare negativo $y=-mx$) dove la nostra funzione si comporta diversamente da come si comporta nel I e III quadrante possiamo concludere che l'origine non è nè un massimo nè un minimo
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