Massimi e minimi relativi con Hessiana
Ciao ragazzi,potreste aiutarmi a trovare massimi e minimi relativi per la seguente funzione tramite matrice Hessiana? grazie mille!
\(f(x,y) = x^2y^2(x-1)\) .
\(f(x,y) = x^2y^2(x-1)\) .
Risposte
Lo studio con l'Hessiana dei massimi e minimi è inconcludente per questa funzione infatti studiando il sistema $\nabla f =(0,0)$ ottieni che i punti stazionari sono i punti $(x,0)$ per ogni valore di $x$ e i punti $(0,y)$ per ogni valore di $y$.
Per le quali facendo le varie derivate ottieni che le matrici Hessiane sono le seguenti per le due famiglie di punti stazionari
$$
H(x,0)=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2x^2(x-1)\end{bmatrix}
$$
$$
H(0,y)=\begin{bmatrix} -2y^2 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}
$$
Ora come puoi notare il determinante di entrambe le matrici è nullo, quindi sono matrici semidefinite.
In particolare puoi notare che la prima è una matrice semidefinita positiva per $x>1$ (gli autovalori della matrice sono tutti o nulli o positivi per $x>1$) quindi questi punti o sono punti di Sella oppure sono Minimi relativi; noti anche che tale matrice è semidefinita negativa per $x<1$ quindi questi o sono punti di Sella oppure sono Massimi relativi; mentre per $x=1$ può succedere qualunque cosa.
La seconda matrice invece noti subito che è semidefinita negativa per ogni valore di $y$ quindi i punti $(0,y)$ o sono punti di Sella o sono Massimi relativi.
Detto ciò lo studio dell'Hessiana non ci ha dato molto torniamo alle origini, vediamo quanto vale la funzione nei punti stazionari... ci vuole una frazione di secondo per calcolare che $f(0,y)=f(x,0)=0$ per ogni valore di $x$ e $y$.
A questo punto per scovare massimi minimi e selle dobbiamo applicare la definizione, cioè usare le disequazioni.
Se guardiamo il segno di $f(x,y)=x^2y^2(x-1)$ in un intorno del punto stazionario $(0,y)$ notiamo che $f(x,y)\le 0$ per ogni $x$ e $y$ nell'intorno di $(0,y)$ infatti $x^2$ è sempre positivo così come $y^2$, mentre $(x-1)$ è positivo solo se $x>1$ tuttavia in un intorno sufficientemente piccolo di $(0,y)$ si avrà chiaramente che $x<1$ quindi la funzione o è negativa oppure se prendiamo $x=0$ è nulla quindi abbiamo che nell'intorno di $(0,y)$ la funzione è $f\le 0$ quindi i punti $(0,y)$ sono punti di Massimo relativo DEBOLE, poiché la funzione è sempre minore uguale del valore che assume in $(0,y)$, che ricordo essere $f(0,y)=0$.
Allo stesso modo ragioniamo per i punti $(x,0)$ per i quali otteniamo (ti invito a ripetere da solo il ragionamento) che i punti $(x,0)$ con $x<1$ sono massimi relativi deboli, mentre i punti $(x,0)$ con $x>1$ sono Minimi relativi deboli.
Per finire il punto $(1,0)$ è un punto di Sella perché per ogni intorno di $(1,0)$ possiamo trovare sia punti dove la funzione è positiva che punti dove è negativa.
Per le quali facendo le varie derivate ottieni che le matrici Hessiane sono le seguenti per le due famiglie di punti stazionari
$$
H(x,0)=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2x^2(x-1)\end{bmatrix}
$$
$$
H(0,y)=\begin{bmatrix} -2y^2 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}
$$
Ora come puoi notare il determinante di entrambe le matrici è nullo, quindi sono matrici semidefinite.
In particolare puoi notare che la prima è una matrice semidefinita positiva per $x>1$ (gli autovalori della matrice sono tutti o nulli o positivi per $x>1$) quindi questi punti o sono punti di Sella oppure sono Minimi relativi; noti anche che tale matrice è semidefinita negativa per $x<1$ quindi questi o sono punti di Sella oppure sono Massimi relativi; mentre per $x=1$ può succedere qualunque cosa.
La seconda matrice invece noti subito che è semidefinita negativa per ogni valore di $y$ quindi i punti $(0,y)$ o sono punti di Sella o sono Massimi relativi.
Detto ciò lo studio dell'Hessiana non ci ha dato molto torniamo alle origini, vediamo quanto vale la funzione nei punti stazionari... ci vuole una frazione di secondo per calcolare che $f(0,y)=f(x,0)=0$ per ogni valore di $x$ e $y$.
A questo punto per scovare massimi minimi e selle dobbiamo applicare la definizione, cioè usare le disequazioni.
Se guardiamo il segno di $f(x,y)=x^2y^2(x-1)$ in un intorno del punto stazionario $(0,y)$ notiamo che $f(x,y)\le 0$ per ogni $x$ e $y$ nell'intorno di $(0,y)$ infatti $x^2$ è sempre positivo così come $y^2$, mentre $(x-1)$ è positivo solo se $x>1$ tuttavia in un intorno sufficientemente piccolo di $(0,y)$ si avrà chiaramente che $x<1$ quindi la funzione o è negativa oppure se prendiamo $x=0$ è nulla quindi abbiamo che nell'intorno di $(0,y)$ la funzione è $f\le 0$ quindi i punti $(0,y)$ sono punti di Massimo relativo DEBOLE, poiché la funzione è sempre minore uguale del valore che assume in $(0,y)$, che ricordo essere $f(0,y)=0$.
Allo stesso modo ragioniamo per i punti $(x,0)$ per i quali otteniamo (ti invito a ripetere da solo il ragionamento) che i punti $(x,0)$ con $x<1$ sono massimi relativi deboli, mentre i punti $(x,0)$ con $x>1$ sono Minimi relativi deboli.
Per finire il punto $(1,0)$ è un punto di Sella perché per ogni intorno di $(1,0)$ possiamo trovare sia punti dove la funzione è positiva che punti dove è negativa.
@mrEngineer: conviene esporre non solo l'esercizio ma anche i propri tentativi, così come prescritto dal regolamento (vedi box rosa in alto).
Hai ragione,colpa mia!!
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