Massimi e minimi per le funzioni in due variabili
Ho svolto un esercizio sulla ricerca dei massimi e dei minimi di una funzione a due variabili, precisamente :$ z=xy(2x+y-2) $, nel calcolare le derivate parziali prime si ottengono due funzioni in x ed y, che ho posto uguali a zero, ottenendo un sistema di due equazioni, ma oguna di tale equazione va considerata come equazione in una sola incognita?Più precisamente considerata la derivata parziale rispetto ad x, questa contiene sia la x che la y, ma nel sistema è da considerarsi come funzione nella variabile x, la y è una costante, cosicchè è una funzione di primo grado e,quindi, il sistema si può risolvere con il metodo di Cramer. La soluzione del sistema è: 1/3,2/3, che risuta essere un minimo relativo. Grazie.
Risposte
no, il sistema è di quarto grado, e la soluzione da te trovata vale nel caso di $x != 0 ^^ y != 0$.
le soluzioni sono quattro: $(0,0), (1,0), (0,2), (1/3, 2/3)$, se non ho sbagliato i conti.
prova e facci sapere. ciao.
le soluzioni sono quattro: $(0,0), (1,0), (0,2), (1/3, 2/3)$, se non ho sbagliato i conti.
prova e facci sapere. ciao.
"adaBTTLS":
no, il sistema è di quarto grado, e la soluzione da te trovata vale nel caso di $x != 0 ^^ y != 0$.
le soluzioni sono quattro: $(0,0), (1,0), (0,2), (1/3, 2/3)$, se non ho sbagliato i conti.
prova e facci sapere. ciao.
Anche io ho trovato questi risultati, confermati da maple..
Si, sono riuscita a trovare le soluzioni del sistema, adesso per trovare i massimi e minimi devo controllare ognuna di queste soluzioni (con il determinante hessiano),fare poi anche il limite a infinito (+e -) per trovare l'unico punto di minimo relativo in (1/3,2/3) come mi dice il libro ? Grazie.
"maria60":
Si, sono riuscita a trovare le soluzioni del sistema, adesso per trovare i massimi e minimi devo controllare ognuna di queste soluzioni (con il determinante hessiano),fare poi anche il limite a infinito (+e -) per trovare l'unico punto di minimo relativo in (1/3,2/3) come mi dice il libro ? Grazie.
Scusa ma stai cercando max/min relativi o assoluti?
L'esercizio a dire il vero mi chiede max e min senza specificare, ma se volessi trovare gli asssoluti va bene il procedimento, se no quale devo seguire ?
"maria60":
L'esercizio a dire il vero mi chiede max e min senza specificare, ma se volessi trovare gli asssoluti va bene il procedimento, se no quale devo seguire ?
Allora la funzione è
$f(x,y) = x y (2x + y - 2)$
se prendi la successione di punti $(n ; 3 - 2*n)$ abbiamo
$f(n ; 3-2*n) = 3 n - 2 n^2$
e vedi che il limite per $n -> +infty$ è $-\infty$ .
Se invece prendi la successione di punti $(n ; -2*n)$ abbiamo
$f(n ; -2*n) = 4*n^2$
e vedi che il limite per $n -> +infty$ è $+\infty$ .
Non ci sono, perciò, max e min assoluti.
"maria60":
Si, sono riuscita a trovare le soluzioni del sistema, adesso per trovare i massimi e minimi devo controllare ognuna di queste soluzioni (con il determinante hessiano),fare poi anche il limite a infinito (+e -) per trovare l'unico punto di minimo relativo in (1/3,2/3) come mi dice il libro ? Grazie.
Allora mi sono calcolato le 4 matrici hessiane e ho trovato che solo quella relativa al punto $(1/3 ; 2/3)$ risulta definita,
le altre non lo sono.
Poiché l'hessiano in $(1/3 ; 2/3)$ è definito positivo, il punto è di minimo relativo.
Perchè hai preso quella successione di punti? Il libro non è chiaro sul procedimento da seguire per la ricerca degli assoluti, potresti accennarlo ? grazie
"maria60":
Perchè hai preso quella successione di punti? Il libro non è chiaro sul procedimento da seguire per la ricerca degli assoluti, potresti accennarlo ? grazie
Allora il ragionamento che ho seguito è questo:
prendo due successioni in modo tale che risultino "parallele" alla retta $2*x+y-2=0$;
ma non è necessario seguire quelle due successioni.
Ripensandoci basta prendere le successioni
$f(1 ; n) = n^2$
$f(-1 ; n) = 4 n - n^2$
la prima $-> + infty$ mentre la seconda $-> - infty$ .
Comunque vanno bene anche quelle che ho scritto sopra..
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo